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Algebra booleana y compuertas lógicas
















Cúa, 12-05-2014
Introducción


























El álgebra booleana
El álgebra booleana es un tipo álgebra que permite abstraer las principales operaciones algebraicas en un sistema binario.Álgebra de Boole está diseñada a mediados del siglo XIX por el matemático George Boole Inglés, de la que toma su nombre, y también se conoce como el álgebra de Boole. Las operaciones de álgebra booleana permiten operar con sólo dos valores: 0 y 1. Los dos valores a veces también se conoce como Verdadero “1” o falso “0” o como en “1” y apagado “0”. El álgebra booleana se divide en diversassub-categorías, las cuales son:
A) La lógica proposicional: Álgebra booleana le permite procesar las expresiones y la forma algebraica siguiendo una lógica proposicional o lógica proposicional, donde las funciones devuelven sólo resultan en cero o uno.
B) Los operadores lógicos: Dos proposiciones pueden ser unidos entre sí mediante los operadores lógicos “AND, OR, NOT, etc. Que dan lugar a un valor detercera proposición verdadera o falsa. Los principales operadores lógicos del álgebra de Boole son la Y “producto lógico”, el OR “suma lógica” y el operador NO “negación / complemento”.
Uno de los principales campos de aplicación del álgebra de Boole es la informática en virtud del hecho de que la lógica de la computadora se basa en el sistema binario. En los circuitos electrónicos de un ordenador lainformación se tratará esencialmente como una secuencia de ceros y unos. En los siguientes párrafos se muestran diversos ejemplos de este tipo de algebra:
Si S diferente del vacío es un conjunto, el conjunto parcialmente ordenado A = P(S) bajo la relación de inclusión es un álgebra booleana.
Sea B el conjunto de valores de verdad de las proposiciones, es decir B= {0,1}. Este conjunto ordenado porla relación de implicación, esto es, a £ b si y sólo si a Þ b es un álgebra de Boole. En efecto, (B, £) es una látice puesto que el único subconjunto con dos elementos, que es el mismo B, tiene mínima cota superior “1”, y una máxima cota inferior “0”. La mínima cota superior es 1 porque 0 + 1 = 1 y la máxima cota inferior es 0 porque 0. 1 = 0.

Lo dicho anteriormente, también se desprende delhecho de que 0 £ 1 y esto debido a que 0 Þ 1 es verdadero. Esta látice es complementada porque 0’ = 1 y 1’ = 0, lo anterior debido a que la negación de una proposición falsa es una proposición verdadera y viceversa. La distributivita se puede verificar utilizando las tablas de verdad para la disyunción y la conjunción.

Teoremas

Teorema 1: A + A = A
T. 2: A · A = A
T. 3: A + 0 = A
T. 4: A.1 = A
T. 5: A. 0 = 0
T. 6: A + 1 = 1
T. 7: (A + B) = A. B
T. 8: (A · B) = A + B
T. 9: A + A · B = A
T. 10: A · (A + B) = A
T. 11: A + AB = A + B
T. 12: A · (A + B) = AB
T. 13: AB + AB = A
T. 14: (A + B) · (A + B) = A
T. 15: A + A = 1
T.16: A · A = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como los teoremas de Morgan debido a que él fue quien los descubrió.



Características
Elálgebra booleana se caracteriza por los siguientes aspectos:
Se definen dos funciones binarias (las cuales necesitan dos parámetros) que se llamaran aditiva (representada por x + y), multiplicativa (representados por xy) y una función monaria(es decir que posee un solo parámetro) que representaremos por x'.
Se definen dos elementos (que se designaran por 0 y 1) los cuales tendrán las siguientespropiedades:
-Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
-Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
-Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
-Asociativa respecto a la segunda función: (xy) z = x (yz)
-Distributiva respecto a la primera función: (x +y) z = xz + yz
-Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)...