Modelado de enfriamiento de un pionono

Introducción:

Algunos procesos realizados en la industria alimenticia pueden tornarse complejos a la hora de realizar el modelado matemático que nos permita conocer su comportamiento a lo largo del tiempo. Para facilitar la obtención del resultado analítico se puede recurrir a diferentes herramientas matemáticas dependiendo del caso estudiado. En este trabajo se utilizaran algunas de estasherramientas para modelar el enfriamiento de un pionono.

Objetivo:

Modelar y resolver procesos de alimentos representables por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Presentación del caso a estudiar:

Se analizara el comportamiento del flujo de calor en un pionono con una temperatura inicial de 20ºC almacenado en una cámara frigorífica de convección forzada cuya temperaturainterior es de 0ºC.

o Las dimensiones del producto alimenticio son:

Espesor: 2cm
Largo: 25cm
Ancho: 30cm

o Propiedades:

Conductividad térmica (k) = 0,275 j/sm ºC

Mediante la ecuación de Choi y Okos , a continuación, se puede determinar la conductividad de los alimentos en función de contenido de agua, carbohidratos y contenido de fibra.

Kf =Σ Ki XiSe consideró que la ecuación es aplicable a nuestro producto y se procedió a su cálculo.

Siendo
*Xi es la fracción de masa de cada componente
*w= agua, fib = fibra, ca = carbohidratos, T=20ºC
Kca = 2.01 x 10-1 + 1.39 x 10-3T - 4.33 x 10-6T2
Kfib = 1.83 x 10-1 + 1.25 x 10-3T - 3.17 x 10-6T2
Kw = 5.71 x 10-1 – 1.76 x 10-3T – 6.70 x 10-6T2

Ysegún la tabla de composición de alimentos industrializados, en 100 gramos de alimentos:

Alimento |kcal |Agua |proteina |Grasa |CH2O |Fibra |Ceniza | |Pionono |311 |23.8 |7.7 |1.4 |65.3 |0.1 |1.8 | |

Obtenemos que la k para nuestro producto es:
Kca=0.227
Kfi=0.2067
Kw=0.5331
Kf= 0,000275 kj/s mºC

Calor especifico (Cp)

Para predecir el calor específico, se utilizó la función deChoi y Okos, la cual generan una ecuación más generalizada para el Cp tomando la cantidad de composición de sólidos:

Cpf =Σ Cpi Xi

Xi es la fracción de masa ( o peso) de cada componente
w= agua, fib = fibra, ca = carbohidratos

Unidades para Calor Específico en esta ecuación son J/Kg°C
Cpca = 1.5488 + 1.9625 x 10-3T - 5.9399 x 10-6T2
Cpfib = 1.8459 + 1.8306 x 10-3T - 4.6509 x 10-6T2Cpw = 4.1762 - 9.0864 x 10-5T + 5.4731 x 10-6T2

Solución:
Cpca:1.55
Cpfib: 1.88
Cpw: 4.17

Cp final: 1.998 kJ/kg°C

Densidad (ρ)

Choi y Okos desarrollaron las expresiones para la evaluación de la densidad de alimentos en función de contenido de agua, carbohidratos y contenido de fibra.

1/ρf =Σ Xi / (ρT)i

Xi es la fracción de masa ( o peso) de cada componente
w= agua, fib =fibra, ca = carbohidratos

Unidades de la densidad en esta ecuación son Kg/m3
ρca = 1.5991 x 103 - 0.31046 T
ρfib = 1.3115 x 103 - 0.36589 T
ρw = 9.9718 x 102 + 3.1439 x 10-3T - 3.7574 x 10-3T2

ρca: 1592,9
ρfib: 1304,18
ρw:995,74

ρF=1279,107 Kg/m3

Con estos datos podemos obtener el valor de α:

α = k/(ρ * cp) = 0,000275/(1279,107*1,998) =1,07E-7 m2/s = 1,07E-3

Coeficiente deconvección (H) = 1500 w/m2ºC

Numero de Biot = H*L/k = 1500*0,02/0.27= 111

Debido a que el número de biot es mayor a 100 se puede asumir que la convección en el interior de la cámara es muy elevada, por lo que la resistencia a la misma en la superficie del pionono es despreciable. Estas condiciones permiten aplicar el modelo Dirichlet para las condiciones de contorno.

Modelado del proceso➢ Ecuación de gobierno
[pic]

Este modelado responde al hecho de que tanto el ancho como el largo de la pieza son mas de 10 veces el valor del espesor (2 cm), por lo tanto la transferencia de calor será principalmente afectada por la conducción a través del eje z.

➢ Condiciones de contorno

CC1= P (o,t) = 0
CC2= P (2,t) = 0

➢...