Modelo clásico de regresión lineal: supuestos detrás del método de mínimos cuadrados

Modelo clásico de regresión lineal: supuestos detrás del método de mínimos cuadrados

Supuesto 1: modelo de regresión lineal. El modelo de regresión lineal es lineal en los parámetros.
Yi=β1+Xi+ui
Donde la variable dependiente Y y el regresor X puede no ser lineales en si mismos.
Supuesto 2: Los valores de X son fijos en muestreo repetido. Los valores son considerados fijos en nuestromuestreo repetido. Más técnicamente, X se supone no estocástica.
Por lo tanto el análisis de regresión es un análisis de regresión condicional, esto es, condicionado a los valores dados del (los) regresor(es) X.
Supuesto 3: el valor medio de la perturbación ui es igual a cero. Dado el valor de X, la media, o el valor esperado del termino aleatorio de perturbación ui es cero. Técnicamente, elvalor de la medida condicional de ui es cero. Simultáneamente se tiene.
Eui |Xi=0
El supuesto 3 establece que le valor de la media de ui condicional sobre las X, dadas, es cero, y gráficamente este supuesto puede expresarse como en la figura 1.
Los factores que no están incluidos explícitamente en el modelo y que, por consiguiente, están incorporados en ui , no afecta sistemáticamente el valorde la media de Y; es decir, los valores positivos de ui se cancelan con los valores negativos de ui de tal manera que el efecto de promedio o de su media sobre y es cero.

Figura 1: Distribución condicional de las perturbaciones ui
Supuesto 4: homoscedasticidad o igual varianza de ui .
Dado el valor de X, la varianza de ui es la misma para todas las observaciones. Esto es, la varianzacondicionales de ui son idénticas. Simbólicamente, se tiene que.
varui |Xi=Eui -Eui |Xi2
=Eu12|Xi por supuesto3
=σ2
En esta ecuación menciona que la varianza de ui para cada Xi (varianza condicional de ui ) es algún número positivo constante igual a σ2. Técnicamente, representa el supuesto de homoscedasticidad, o igual (homo = dispersión) o igual (cedasticidad= varianza).
Planteado de otra forma estosignifica que las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tiene la misma varianza. De manera sencilla, la variación alrededor de la recta de regresión(recta de la relación promedio entre XyY) es la misma para los valores de X; ni aumneta ni disminuye conforme a X varia. Como se aprecia en la grafica siguiente.

Grafico 2: homoscedasticidad
En el grafico 3 se muestra la varianzacondicional de la población Y varía con X. a esta se le conoce como heteroscedasticidad, o dispersión desigual, o varianza desigual y se puede escribir simbólicamente como:
varui |Xi=σ12
Como se muestra en la siguiente grafica, varu |X1<varu |X2…..<varu |Xi. por consiguiente, lo mas probable es que las observaciones de Y que provienen de la población con X=X, estarían mas cercana a la FRP queaquellas que vienen de poblaciones correspondientes a X=X2 , X=X3, y así sucesivamente. En resumen todos los valores de Y que corresponden a los diversos X será igualmente confiables, juzgando la confiabilidad por la cercanía o alejamiento con el cual están distribuidos los valores de Y alrededor de sus medias esto es los puntos sobre la recta FRP.

Grafico 3: heteroscedasticidad
Alinvocar el supuesto 4 se dice que en esta etapa todos los valores de Y correspondientes a diversos valores de X son igualmente importantes.
El supuesto 4 implica que las varianzas condicionales de Y, también son homoscedasticas. Esto es:
varui |Xi=σ2
Supuesto 5: no existe autorelación entre las perturbaciones. Dados los valores cualquiera de X, Xi y Xj i≠jes cero. Simbólicamente.
cov ui, uj|Xi,=Eui-Euiui-Eui| Xi
=Eui|Xi,ui|Xi,
=0

Donde i y j son dos observaciones diferentes y donde cov significa covarianza.
Este postula que las perturbaciones de ui y uj no están correlacionadas. Técnicamente, este es un supuesto de no correlación serial, o no autorelacion, esto significa que dado Xi, las desviaciones de los valores cualquiera de Y de su medida no muestra patrones como los que aparecen...