modelo de dispercion gaussiano

5. MODELO DE DISPERSIÓN GAUSSIANO

5.1 Formulación matemática
Como se observa en la siguiente Figura 2, la pluma se eleva a una altura adicional a
h (la de la chimenea) como consecuencia de que los gases calientes flotan y además del
propio movimiento vertical que tienen cuando salen de la chimenea; así que la altura
efectiva de la chimenea es H = h + ∆h, en donde ∆h expresa la elevación dela pluma.

z

∆h
H
h
x
y
Figura 2. Un modelo de dispersión con la fuente virtual a una altura efectiva, H, de la
chimenea
Las hipótesis sobre las cuales se basa la formulación matemática son:
•

Desarrollo del modelo para un estado estacionario.

•

La difusión de masa es despreciable en la dirección del eje x.

•

La velocidad del viento u se considera constante ya que lasvariaciones de ésta en
los tres ejes coordenados es muy pequeña y se puede despreciar.

15

•

La fuente puntual se localiza en x = 0 y a la altura efectiva de chimenea H.

La formulación matemática para el caso en cual los contaminantes emanan a la
altura de la chimenea y sin efecto de reflexión del suelo, se describe a continuación:
 1  y 2 ( z − H )2 
Q

exp −  2 +
C=2π uσ yσ z
2 σ y
σ z2 
 



Ec. (5.1)

Una modificación a la ecuación (5.1) se refiere a la consideración de que el
contaminante

se reflejará

partir de una cierta distancia en x, al dispersarse a la

atmósfera desde el nivel del suelo; lo que implica a su vez que el suelo no es sumidero
para dicho contaminante. Para lo anterior es necesario usar una fuente imaginaria tal ycomo se muestra en la figura 2 con una localización en z=-H, x y y = 0 teniendo así una
imagen en el espejo de la fuente original. La concentración será mayor a la determinada
sin tomar en cuenta la reflexión del contaminante ya que existe una superposición de dos
curvas gaussianas, la primera corresponde a la fuente virtual en H y la otra en –H. La
formulación matemática es la ecuación(5.2).

16

Figura 3. Efecto de reflexión del suelo2

C=


 y 2    − ( z − H )2 
 − (z + H )2  
Q
+ exp 
exp exp−  2  exp 


2
2
 σ  
2π uσ yσ z


 2σ z  
 y    2σ z



Ec. (5.2)

La expresión más reducida del modelo de dispersión gaussiana corresponda al nivel del
suelo:

C ( x, y , z ) =

Q

2π x (σ yσ z )

1/ 2

 1  y 2z 2 
exp −  2 + 2 
 2  σ y σ z 

 

Ec. (5.3)

La nomenclatura para las tres ecuaciones anteriores es:

2

Wark, Kenneth & Cecil F. Warner. (1994).Contaminación del aire. Origen y Control. México: Editorial Limusa. p.152

17

C: Concentración del contaminantes en µg/m3
Q: Emisión de gas en g/s
z: Distancia en el eje z en m
y: Distancia en el eje y en m
h: Alturade la chimenea en m
H: Altura efectiva de la chimenea en m
σy,σz: Desviaciones normales horizontal y vertical respectivamente.
Para la especificación de las desviaciones normales, Tuner en su libro “Workbook of
Atmospheric Dispersion Estimates” propone el empleo de monogramas para aproximar
el valor de σy y σz, se muestran en las figuras 4 y 5 respectivamente.

Figura 4. Desviación normal,σy, en dirección del viento cruzado como
una función de la distancia en la dirección del viento

18

Figura 5. Desviación normal, σz, en dirección del viento cruzado como
una función de la distancia en la dirección del viento
Otra alternativa que también se puede emplear es el uso de correlaciones, entre las
cuales se pueden mencionar la propuesta por McMullen3 en 1975, la cual se expresaen
la siguiente forma:

[

σ = exp I + J (Inx ) + K (Inx )2

]

Ec. 5.4

en donde:
σ: Desviación normal de la concentración del contaminantes, ya sea horizontal σy o
vertical σz.
In x: Logaritmo natural de la distancia a nivel de suelo, expresada en kilómetros.
I, J, K: Constantes empíricas para una condición de estabilidad correspondiente a
cada valor de σ.
3

R.W....