Modelo Lineal General

INTRODUCCIÓN En estadística el modelo lineal generalizado (MLG) es una flexible generalización de la regresión de mínimos cuadrados ordinaria. Relaciona la distribución aleatoria de la variable dependiente en el experimento (la «función de distribución») con la parte sistemática (no aleatoria) (o «predictor lineal») a través de una función llamada la «función de enlace». Los modelos linealesgeneralizados fueron formulados por John Nelder y Robert Wedderburn como una manera de unificar varios modelos estadísticos, incluyendo la regresión lineal, regresión logística y regresión de Poisson, bajo un solo marco teórico. Esto les permitió desarrollar un algoritmo general para la estimación de máxima verosimilitud en todos estos modelos. Esto puede ser naturalmente extendido a otros muchosotros modelos. ¿QUE ES EL MODELO LINEAL GENERALIZADO? Los modelos lineales se basan en los siguientes supuestos: 1. Los errores se distribuyen normalmente. 2. La varianza es constante. 3. La variable respuesta se relaciona linealmente con la variable independiente. En muchas ocasiones, sin embargo, nos encontramos con que uno o varios de estos supuestos no se cumplen. Estos problemas se pueden llegara solucionar mediante la transformación de la variable respuesta. Sin embargo estas transformaciones no siempre consiguen corregir la falta de normalidad, la heterocedasticidad (varianza no constante) o la no linealidad de nuestros datos. Una alternativa a la transformación de la variable respuesta y a la falta de normalidad es el uso de los modelos lineales generalizados. Los modelos linealesgeneralizados (GLM) son una extensión de los modelos lineales que permiten utilizar distribuciones no normales de los errores (binomiales, Poisson, gamma, etc) y varianzas no constantes. Ciertos tipos de variables respuesta sufren invariablemente la violación de estos dos supuestos de los modelos normales y los GLM ofrecen una buena alternativa para tratarlos. El supuesto central que se ha hechohasta el momento con los modelos lineales es que la varianza es constante. Muchos de los métodos estadísticos más comunes, como la t de Student o la regresión, asumen que la varianza es constante, pero en muchas aplicaciones este supuesto no es aplicable. Y es precisamente en estos casos cuando los GLM pueden ser de gran utilidad. Los GLM tienen dos propiedades importantes: 1. La estructura de loserrores. 2. La función de vínculo.

LA EXTRUCTURA DE LOS ERRORES Los GLM permiten especificar distintos tipos de distribución de errores: Poisson, Binomiales, Gamma y Exponenciales. Además, los modelos lineales, con los que estamos más familiarizados, asumen que tanto la variable respuesta como los errores del modelo siguen una distribución normal. Una distribución normal es, por definición,continua. En ocasiones, sin embargo, la variable dependiente sigue una distribución que no es continua y, por tanto, los valores estimados por el modelo han de seguir el mismo tipo de distribución que los datos de partida. Cualquier otro tipo de valor estimado por el modelo no debería ser válido desde un punto de vista lógico, aunque en la práctica no se presta mucha atención a esto. LA FUNCIÓN DELVÍNCULO Otra razón por la que un modelo lineal puede no ser adecuado para describir un fenómeno determinado es que la relación entre la variable respuesta y la(s) variable(s) independiente(s) no es siempre lineal. La función de vínculo, por tanto, se encarga de linealizar la relación entre la variable respuesta y la(s) variable(s) independiente(s) mediante la transformación de la variable respuesta.Otra de las utilidades de la función de vínculo, es la de conseguir que las predicciones de nuestro modelo queden acotadas. MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS En el método de mínimos cuadrados generalizados (MCG) hay que analizar las consecuencias de relajar las hipótesis básicas sobre la matriz de varianzas y covarianzas de la perturbación en las propiedades del estimador MCO. También se introducen...