modelo no lineal

Modelos No Lineales
En los modelos lineales los parámetros (valores poblacionales desconocidos)
entran linealmente en la ecuación. No importa que la(s) variable(s)
independiente(s) estén en la ecuación en forma no lineal: recordemos que son
fijas, ya sea por el diseño o por observación. Lo importante es que cada
parámetro aparezca multiplicado por una cantidad conocida y después
sumado.Esto permite encontrar soluciones usando métodos para resolver
ecuaciones múltiples. Ejemplos clásicos de modelos lineales de regresión son:
1) el modelo de regresión lineal simple

µ= β 0 + β1 x ,
Y
2) el modelo de regresión múltiple

µY = β 0 + β1 x1 + ... + β k xk
y 3) el modelo de regresión polinomial

µY = β 0 + β1 x + β 2 x 2 + ... + β k x k
Por el contrario, los modelos no linealesson modelos de regresión en los
cuales los parámetros aparecen en forma no lineal en la ecuación. Por ejemplo,

=
µY

1
, µY
=
−β2 x
β 0 + β1e

= β 0 exp ( − exp ( − β 0 + β1 x ) ) , =
µY
µY

1
1
, µY
=
β 0 + β1 x + β 2 x 2
( β 0 + β1 x ) β 2

β0
1 + β1e

−β2 x

, =
µY

β0
− ( β1 + β 2 x ) 

1 + e




β3

Particularmente, estas últimas tresecuaciones son comúnmente usadas para
describir crecimiento, y se llaman, respectivamente, el modelo de Gompertz, el
modelo Logístico y el modelo de Richards.
Cuando la respuesta crece (o decrece) monotónicamente, pero la magnitud de
la tasa de crecimiento (decrecimiento) se hace cada vez más pequeña, y la
variable dependiente se aproxima a una constante (la “asíntota”), la siguiente
funciónexponencial suele usarse:

µ= β 0 + β1e
Y

−β2 x

En todos estos modelos estamos presentando la media (esperanza) de la
respuesta Y como una función no lineal de una (o más variables)
independientes. Para completar la especificación del modelo, debemos indicar
además la distribución de Y y la independencia (o dependencia) entre los
valores de Y.
Al igual que lo estuvimos haciendo en modeloslineales mixtos, existen muchas
situaciones en las que el modelo para la media incluye también componentes
aleatorias. Por ejemplo, es posible que algunos de los parámetros de una curva
(no lineal) de crecimiento varíen de individuo a individuo, y podemos reflejar
esta variabilidad mediante términos aleatorios en el modelo. Lo que cambia
ahora es que la función no lineal que estamos modelando(y sobre cuyos
coeficientes nos interesa hacer inferencias) expresan la esperanza (media)
condicional de la variable de respuesta dado(s) el(los) efecto(s) aleatorio(s).
Consideremos mediciones de circunferencia (en mm) de 5 árboles de naranja,
con 7 mediciones por árbol. La siguiente figura muestra los perfiles individuales
de los 5 árboles:

Un modelo que podemos usar es el Logístico:µY =

β0
1 + β1e

− x / β2

En este modelo β 0 representa la asíntota,

βo

(1 + β1 )

representa el intercepto y

β 2 está relacionado a la pendiente (velocidad con que alcanza la asíntota).
Cuando observamos las curvas individuales, podemos pensar que todas las curvas
comienzan más o menos en el mismo diámetro, pero cada una alcanza un diámetro
máximo diferente. Supongamos queasumimos que la asíntota β 0 tiene un efecto
aleatorio, que le llamaremos ui . La especificación del modelo condicional sería:

E (Yij | ui ) =

β 0 + ui
1 + β1e

− xij β 2

Si además suponemos que cada observación, dado el efecto aleatorio del
individuo, es independiente de las otras y tiene una distribución normal con
varianza constante, y si suponemos que los ui son a su vezvariables normales
con cierto valor medio y cierta varianza, tenemos completamente especificado
nuestro modelo. Como hemos visto en modelos lineales, la presencia de
efectos aleatorios tiene el efecto que las observaciones provenientes de la
misma unidad están correlacionadas, ya que comparten el mismo valor
observado de ui . El problema que esta correlación no siempre es simple de
estimar, y...