modelo matemantico

“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN”
Aplicaciones a la Biología:

Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicadoses el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementaleshasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.

Crecimiento Biológico:

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un serhumano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:

dy / dt = αy
con solución
y = ce
Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si α> 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí α < 0.
Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si α > 0 entoncestenemos que y→∞ si t→∞ , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que unacélula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.

Formulación Matemática:

Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto tambiénpuede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:

dy / dx = F(y) y = Yo para t=0

Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificadot = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = αy no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadráticaF(y) = αy - βy² , y = Yo para t = 0.

Puesto que la ecuación F(y) = αy - βy² es de variables separables, tenemos


dy / αy – βy² = dt ó ∫ dy / y (α – βy) = t + c...