modelos lineales

PROBLEMA: ¿Cómo sintetizar el sonido de la pronunciación de una palabra?
1. MODELOS LINEALES DE SEÑALES:
Ruido
blanco
w(n)

Sistema
LTI

x(n)

Representación
de Wold

Puede ser
MA: B(z)
AR: 1/A(z)
ARMA: B(z)/A(z)

Todo ceros
Todo polos
Polos-ceros

Nombre

Ecuación en diferencias

ARMA

x(n)   bk w(n  k )  a k x(n  k )

MA
(P=0)

P

k 0

AR
(Q=0)

QComentarios

k 1

P

x(n)  w(n)   a k x(n  k )
k 1

Q

x(n)   bk w(n  k )
k 0

Combinación lineal de la
misma señal
Recursividad del cálculo de
la siguiente muestra x(n) 
Autoregresivo
Combinación lineal del ruido
blanco de entrada
Promedio ponderado del
ruido blanco  Media móvil

Relación filtros digitales
FIR e IIR
Filtros IIR con polos y
ceros.Longitud infinita de la
respuesta al impulso
Filtros IIR solo polos
Longitud infinita de la
respuesta al impulso
Filtro FIR. Sólo ceros
Longitud finita de la
respuesta al impulso

PREGUNTA: ¿Cómo escoger el mejor modelo para una señal dada?
R/. Analizando su función su autocorrelación y autocorrelación parcial
1.1. RELACIÓN ENTRE LOS PARÁMETROS DEL MODELO Y LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

rx(l )  E{x(n) x * (n  l )}
Al calcularla para un ARMA, y asumiendo que la entrada es ruido blanco con función de
2
autocorrelación rw (l )   w (l ) (ver Tratamiento Digital de la Señal, Proakis página 865):

 P
  a k rx (l  k )

 kP1
Q l

rx (l )    a k rx (l  k )   2  h(k )bk l
w
k 0
 * k 1
rx (l )



l Q
0l Q
l0

rx(l) para un
procesoestacionario
tiene simetría
1

 P
  a k rx (l  k )

 kP1

rx (l )    a k rx (l  k )   2
w
 * k 1
rx (l )



Para un AR (Q=0):

0
 Q l

rx (l )   2  bk bk l
w
 * k 0
rx (l )


Para un MA (P=0):

l0
l0
l0

l Q
0l Q

En MA h(k) = bk (Filtros FIR)

l0

Al analizar las tres ecuaciones se encuentran las siguientes formaspara la función de autocorrelación
(ACS) según el modelo:
MA(q)

AR(p)

ARMA(p,q)

Longitud finita

Longitud infinita (Exponencial decreciente o
senoidal amortiguada)

En conclusión: La autocorrelación permite determinar el tipo de modelo y el orden Q para el MA o el
ARMA.
PREGUNTA: ¿Cómo determinar el orden P?
R/. Usando la autocorrelación parcial
1.2. NOTACIÓN VECTORIAL DE LAFUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN. ECUACIONES NORMALES.
P

Para el AR:

De rx(l=0) se obtiene:

 a r (k )  
k 0
P

De rx(l>0) se obtiene:

k x

2
w

 a r (l  k )  0
k 0

k x

Las ecuaciones anteriores se pueden describir por medio de una operación matricial de la forma:
r (1)
r (2)  r ( P)   1   2 
 r (0)
w
 
 r (1)
r (0)
r (1)  r ( P  1)  a1   0

 
Coeficientes del
 
  a2    0 


ak del modelo

   
r ( P) r ( P  1) r ( P  2) 
r (0)       
Matriz
AR

Hermítica y

 a P   0 

   
Toeplitz
2

Lo anterior indica que se puede estimar ak a partir de la función de autocorrelación, siendo necesarios
solo los P+1 primeros datos de la función de autocorrelación para hacer esteproceso.
Una forma alternativa de la representación matricial anterior –la más usada- se obtiene a partir de
rx(l>0) para el modelo AR:
P

P

k 1

k 1

rx (l )   a k rx (l  k )   a k rx (l  k )  rx (l )

Que matricialmente es:
r (1)
r (2)
 r (0)
 r * (1)
r (0)
r (1)



 *
*
*
r ( P  1) r ( P  2) r ( P  3)



 r ( P  1)   a1 
 r (1) 
a
 r (2) 
 r ( P  2)  2 


  a3     r (3)  


 



r (0)    
  
 a P 
r ( P )
 



Ecuaciones normales. Ecuaciones de Yule-Walker

R xa  rx
a  R 1rx
x

Para el ARMA, de rx(l>Q) se obtiene una matriz similar:

Se calcula
típicamente
mediante el
algoritmo de
LevinsonDurbin

r (Q)
r (Q  1)
r (Q  2)
 r (Q  P...