Modo Mediana NORMAL

MEDIDAS SOBRE DISTRIBUCIONES ABSOLUTAMENTE CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
AGOSTO, 2010
CARLOS S. CHINEA

MEDIDAS SOBRE DISTRIBUCIONES
ABSOLUTAMENTE CONTINUAS. LA
DISTRIBUCIÓN NORMAL

01. Medidas sobre distribuciones absolutamente continuas
01.1. La función de densidad:
Para cualquier variable aleatoria, X, su función de distribución viene definida por

F ( x ) = p[ X ≤ x ]
que, si esabsolutamente continua, se puede expresar por
x

∫ f (t ).dt

F ( x) =

−∞

donde es f (x ) la función de densidad, que obviamente ha de cumplir la condición de
probabilidad igual a 1 para el espacio muestral:
∞

∫ f (t ).dt = 1

(1.2)

−∞

La función de densidad permite definir el tipo de distribución en estudio, así, por
ejemplo, la distribución normal queda definida por una función de densidad dadapor:

f ( x) =

1
a 2π

e

1  x −b 
− 

2 a 

2

01.2. Momentos:
Para estudiar las características de una distribución de la variable aleatoria es
necesario estudiar los momentos de la distribución.
Los momentos iniciales están definidos por
+∞

Mk =

∫x

k

f ( x).dx (momento inicial de orden k, k=0,1,…)

−∞

El momento inicial de orden cero es la unidad, por (1.2), pues

M0 =

+∞

+∞

−∞

−∞0
∫ x f ( x).dx = ∫ f ( x).dx =1

Al momento inicial de orden 1 se le denomina Esperanza Matemática o bien Media de
la distribución:

1

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AGOSTO, 2010
CARLOS S. CHINEA

E [x ] ≡ M ≡ M 1 =

+∞

∫x

+∞

1

f ( x).dx =

−∞

∫ xf ( x).dx

−∞

Se llama desviación respecto de la media a la variable X − M .
A partir de la Mediao Esperanza Matemática se definen los llamados momentos
centrales de la distribución:
+∞

α k = E [( x − M ) k ] = ∫ ( x − M ) k f ( x).dx

(momento central de orden k, k=0,1,…)

−∞

El momento central de orden cero coincide, obviamente, con la unidad, al igual que el
momento inicial de orden cero:
+∞

α 0 = E [( x − M ) ] = ∫ ( x − M ) f ( x).dx =
0

0

−∞

+∞

∫ f ( x).dx = 1

−∞

El momentocentral de orden 1 es nulo:
+∞

α 1 = E [( x − M ) ] = ∫ ( x − M ) f ( x).dx =
1

1

−∞

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

∫ xf ( x.dx − ∫ Mf ( x).dx = M − M ∫ f ( x).dx =

=M −M =0
El momento central de orden 2 se denomina Varianza:
+∞

σ 2 = α 2 = ∫ ( x − M ) 2 f ( x).dx
−∞

La raíz cuadrada de la varianza es lo que denominamos desviación típica o desviación
standard:
-

σ = α2

Relaciones entre los momentoscentrales y los momentos iniciales:

El momento central de orden 2 (la varianza) se relaciona con los momentos iniciales
de orden 1 (media) y de orden 2, mediante la relación:

α2 = σ 2 = M 2 − M 2
puesto que:

σ 2 = α2 =

+∞

2
∫ ( x − M ) f ( x).dx =

−∞

+∞

2
2
∫ ( x − 2M .x + M ) f ( x).dx =

−∞

+∞

∫x

2

f ( x).dx −

−∞

+∞

− 2M

∫ x. f ( x).dx + M

2

= M 2 − 2M 2 + M 2 = M 2 − M 2

−∞El momento central de orden 3 viene relacionado con los momentos iniciales por la
expresión:

α 3 = M 3 − 3M .M 2 + 2M 3
puesto que:

2

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AGOSTO, 2010
CARLOS S. CHINEA
∞

∞

α 3 = ∫ ( x − M ) . f ( x).dx = ∫ ( x − 3x M + 3xM − M ). f ( x).dx =
3

3

−∞
∞

2

2

−∞
∞

− 3M ∫ x 2 . f ( x).dx + 3M 2 ∫ xf ( x).dx − M 3
−∞−∞

= M 3 − 3M .M 2 + 2M

3

∞

∫x

3

f ( x).dx −

−∞

∞

∫ f ( x).dx = M

3

− 3MM 2 + 3M 3 − M 3 =

−∞

3

Y el momento central de orden 4:

α 4 = M 4 − 4M .M 3 + 6M 2 M 2 − 3M 4
ya que se tiene:
∞

∞

α 4 = ∫ ( x − M ) . f ( x).dx = ∫ ( x 4 − 4 x 3 M + 6 x 2 M 2 − 4M 3 x + M 4 ). f ( x).dx =
4

−∞

=

−∞

∞

∞

∞

∞

∞

−∞

−∞
2

−∞

−∞

−∞

4
3
2
2
3
4
∫ x . f ( x).dx − 4M ∫ x f ( x).dx + 6M ∫ x f( x).dx − 4M ∫ xf ( x).dx + M

∫ f ( x).dx =

= M 4 − 4M .M 3 + 6M M 2 − 4M 4 + M 4 = M 4 − 4 M .M 3 + 6 M 2 M 2 − 3M 4
En general, el momento central de orden k es el desarrollo:

αk =

∞

∫ (x − M )

−∞

k

∞ k

∞
k
k 
k 
k −r r
k −r
f ( x).dx = ∫ ∑  (− M ) x f ( x).dx =∑  (− M ) ∫ x r f ( x).dx =
r
r =0  r 
−∞ r =0  
−∞

k
k 
= ∑  (−1) k − r M k − r M r
r =0  r ...