Momento De Inercia

CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA
Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas sin masa, formando un rectángulo de lados 2a y 2b. El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa por su centro. a) Hallar el momento de inercia respecto de este eje. b) Hallar el I respecto de un eje paralelo al anterior que pase por las masas. c) Hallar el I respecto a un ejeperpendicular al anterior y que pase por una masa. Solución: I.T.I. 02 a) Si aplicamos la definición de momento de inercia: I = ∑ mi Ri2 tenemos que:
i

y ʹ′

y

Ix = 4 m b 2 , Iy = 4 m a2

2b

x 2a

b) Para calcular el momento de inercia respecto de los nuevos ejes podemos hacerlo aplicando la fórmula anterior o utilizando el teorema de Steiner:

x ʹ′

Ix ʹ′ = Ix + 4m b2 ⎫ ⎪ ⎬ 2 ⎪ Iy ʹ′= Iy + 4m a ⎭

⇒

Ix ʹ′ = 8 m b2 , I y ʹ′ = 8m a2

c) El momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por una de las masas (eje zʹ′ ) será:

Iz ʹ′ = 0 + m (2a) + m (2b) + m (2a) + (2b) =

2

2

[

2

2

]

8 m ( a2 + b 2 )

Lo cual podríamos haber calculado teniendo en cuenta que todas las partículas de nuestro sistema se encuentranen un plano y podemos aplicar el teorema de los ejes perpendiculares: Iz ʹ′ = I x ʹ′ + Iy ʹ′ .

€

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Calcular el momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro de un disco de radio R y masa M al cual se le practica un agujero circular de radio R/4 centrado a una distancia R/2 del centro del disco.

R/4 R R/2

Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04Podemos tratar dicho disco como la contribución de dos piezas: y y y

x

=
1

x

–
2

x

El momento de inercia respecto del eje Z de la pieza 1 será:

Iz,1 =

1 1 1 1 M1 R12 = (σ π R12 ) R12 = σ π R14 = σ π R 4 2 2 2 2

Si llamamos Zʹ′ a un eje paralelo al eje Z y que pase por el centro de la pieza 2 utilizando el teorema de Steiner podemos calcular su momento de inercia respectodel eje Z:

Iz,2 = Iz ʹ′,2

1 1 ⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞ 2 2 2 2 ⎛ R ⎞ + M2 = M2 R2 + M 2 = (σ π R2 )R2 + (σ π R2 ) = ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2

2

2

2

2 4 2 2 1 1 ⎡ R ⎤ ⎛ ⎡ R ⎤ ⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ 9 ⎞ 4 2 ⎛ R ⎞ = σ π R2 + (σ π R2 ) = σ π ⎢ ⎥ + ⎜ σ π ⎢ ⎥ ⎟ = σ π R4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 512⎠ 2 2 ⎣ 4 ⎦ ⎝ ⎣ 4 ⎦ ⎠ ⎝ 2 ⎠

El momento de inercia de toda la placa será:

Iz = Iz,1 − Iz,2 =

1 9 247 ρπ R 4 − ρπ R 4 = ρπ R 4 2 512 512

Finalmente calculando el valor de la densidad superficial σ y sustituyendo:

σ=

M placa = A placa

M placa

π R2 − π

⎛ R ⎞ ⎝ 4 ⎠

2

=

16 ⎛ M placa ⎞ 15 ⎜ π R 2 ⎟ ⎝ ⎠

⇒

Iz =

247 M R2 480 placa

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Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de los siguientescuerpos: a) esfera homogénea, b) cilindro hueco de paredes delgadas, c) cilindro homogéneo hueco de radio interior a y exterior b, d) sistema formado por una barra cilíndrica de radio R y longitud L unida a dos esferas de radio 2R. Solución: I.T.I. 02 a) Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la r R esfera. Si dividimos nuestra esfera en diferenciales de masa dm con forma decoraza esférica de radio r y espesor dr, todos los puntos de dicho dm se encuentran a la misma distancia del centro, por lo tanto si calculamos el momento de inercia polar de la esfera respecto de dicho centro nos dará:

⎛ ⎞ R 5 ⎜ M ⎟ R5 3 IO = ∫ r 2 dm = ∫ r2 ρ 4π r 2 dr = ρ 4π = ⎜ 4 4π = M R2 5 ⎜ π R 3 ⎟ 5 5 0 ⎟ ⎝ 3 ⎠
R

Por simetría el momento de inercia respecto de los tres ejescoordenados X, Y y Z tiene el mismo valor Ix = I y = Iz , y además se verifica que:

Ix + Iy + Iz = 2IO

⇒

I x = Iy = I z =

2 MR 2 5

b) En el cilindro hueco de paredes delgadas todos sus puntos se encuentran a la misma distancia del eje de simetría, con lo que su momento de inercia respecto de dicho eje será: I = MR2 dr c) En el caso del cilindro de radio interno a y externo b podemos...