movimientos generales

Movimientos generales: Velocidades
Cada punto de un cuerpo rígido en traslación experimenta el mismo movimiento. Cada punto de un cuerpo rígido que gira respecto a un eje fijo experimenta un movimiento circular respecto a él. Para analizar movimientos más complejos que combinan traslación y rotación, debemos desarrollar ecuaciones que relacionen los movimientos relativos de puntos de un cuerporígido con su movimiento angular.

Velocidades relativas
En la Fig. 1 (a) vemos un cuerpo rígido perpendicular al plano de movimiento. A y B son puntos del cuerpo contenidos en el plano, y O es un punto de referencia. La velocidad de A respecto a B se relaciona de manera sencilla con la velocidad angular del cuerpo. La posición de A respecto a B, se relaciona con las de los puntos respecto aO mediante.

Derivando respecto al tiempo esta ecuación obtenemos:

Donde es la velocidad de A respecto a B. Como A y B son puntos del cuerpo rígido, la distancia entre ellos, es constante.
Esto significa que al girar el cuerpo rígido, A se mueve en una trayectoria circular respecto a B (Fig. 1(b)). La velocidad de A respecto a B es tangente a la trayectoria circular, y su valor es igualal producto de por la velocidad angular w del cuerpo rígido. Este resultado se puede usar para relacionar velocidades de puntos de un cuerpo rígido en movimiento bidimensional cuando se conoce su velocidad angular.


Por ejemplo, sea un disco circular de radio R que rueda sobre una superficie plana estacionaria con velocidad angular anti horaria (Fig. 2a). Rodar implica que la velocidad deldisco en su punto de contacto C respecto a la superficie es cero. Sea B el centro del disco. Respecto a C, el punto B se mueve en una trayectoria circular de radio R (Fig. 2b). En el sistema coordenado que se muestra, la velocidad de B respecto a C es
Vale la pena recordar este resultado: La magnitud de la velocidad del centro de un cuerpo redondo que rueda sobre una superficie estacionaria es elproducto del radio por la magnitud de la velocidad angular. Podemos calcular así la velocidad de cualquier otro punto del disco. Consideremos el punto A de la Fig. 2(c). Respecto al centro B, el punto A se mueve en una trayectoria circular de radio R, por lo que la velocidad relativa (Fig. 2d). Por tanto, la velocidad de A es



Teorema de Ejes paralelos
Este teorema nos permite determinarmomentos de inercia de masa de cuerpos compuestos cuando conocemos los momentos de inercia de sus partes. Supongamos que conocemos el momento de inercia de masa respecto a un eje que pase por el centro de masa de un cuerpo, y que deseamos determinar su momento de inercia de masa respecto a un eje paralelo (Fig. 3a). Para determinar incluimos sistemas de coordenadas paralelas , con el eje Z a lolargo de y el eje a lo largo de L como se muestra en la Fig. 3(b) (en esta figura los ejes y L son perpendiculares a la página). El origen O del sistema coordenado xyz está contenido en el plano - . Los términosy son las coordenadas del centro de masa respecto al sistema coordenado .



El momento de inercia de masa del cuerpo respecto a es:

donde r es la distancia perpendicular deal elemento diferencial de masa , , y son las coordenadas de en el plano . Las coordenadas de están relacionadas con sus coordenadas por:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación anterior podemos escribirla como:

Como , donde es la distancia perpendicular de L a dm, la primera integral en el lado derecho de esta ecuación es el momento de inercia de masa I del cuerpo respecto a L.Recuerde que las coordenadas del centro de masa del cuerpo respecto al sistema coordenado están definidas por

Como el centro de masa del cuerpo está en el origen del sistema Por tanto, las integrales en los términos segundo y tercero del lado derecho de la Fig. (7.41) son iguales a cero. En la Ec. 3(b) vemos que donde d es la distancia perpendicular entre los ejes L y . Por tanto,...