Multivariable
Páginas: 12 (2798 palabras)
Publicado: 19 de mayo de 2011
PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Determinar los l´ ımites de integraci´n de la integral doble o regiones siguientes: i) S es el tri´ngulo de v´rtices (0, 0), (2, 1), (−2, 1). a e
S
f (x, y) dxdy para las
ii) S est´ limitado por las dos √ a rectas x = −2, x = 2 y por las dos ramas de la √ hip´rbola y = 1 + x2 , y = − 1 + x2 . e iii) S es el anillo 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4. Resp.:
1 2y
i)
S
f (x,y) dxdy =
0
dy
−2y
f (x, y) dx.
ii) Observando la figura se obtiene inmediatamente que
2 √ 1+x2
f (x, y) dxdy =
S −2
dx
√ − 1+x2
f (x, y) dy.
x=-2 -2
1
x=2 2
-1
2
2π
iii)
S
f (x, y) dxdy =
1
du
0
u · f (u cos v, u sen v) dv.
x
t
x
2. Probar que
0
dt
0
F (u) du =
0
(x − u)F (u) du.
Resp.: Al invertir el orden deintegraci´n, resulta o
x t x x x
dt
0 0
F (u) du =
0
du
u
F (u) dt =
0
(x − u)F (u) du.
3. Sea R la mayor de las dos regiones limitadas por la circunferencia x2 + y 2 = 25 y la recta x = 3. Escribir los l´ ımites de integraci´n de la integral o a ambos ordenes de integraci´n. ´ o 1
R
f correspondientes
3
√
25−x2
−4
√
−
25−y 2
Resp.: I =
−5 4
dx3
√ − 25−x2
f (x, y) dy =
5
dy −5 √
−
√
f (x, y) dx
25−y 2
25−y 2
+
−4
dy
−
√
f (x, y) dx +
25−y 2 4
dy
√
f (x, y) dx.
25−y 2
4. Cambiar el orden de integraci´n en las siguientes integrales dobles. o
9π/4 cos x
a)
3π/2 1
dx
sen x x2/3
f (x, y) dy.
2 √ 1− 4x−x2 −3
b)
0
dx
0
f (x, y) dy +
1
dx
0 √
f (x, y) dy.Resp.:
0 2π+arc sen y 2/2 2π+arc sen y
a) I =
−1 1
dy
3π/2 2π+arc cos y √
f dx +
0
dy
2π−arc cos y
f dx
+
dy
2/2 1 2π−arc cos y 2−
f dx. √
1−(y−1)2
b) I =
0
dy
y 3/2
f (x, y) dx.
5. Dibujar la regi´n de integraci´n e invertir el orden de integraci´n en los siguientes o o o casos:
1 3x
(a)
0 1
dx
2x x2
f (x, y) dy. f (x, y) dy.
x3 1−y
(b)
01
dx dy
0 π
(c) (d)
0
−
√
f (x, y) dx.
1−y 2
sen x
dx
0
f (x, y) dy.
Resp.:
2 y/2 3 1
(a)
0 1
dy
y/3 √ 3 y
f (x, y) dx +
2
dy
y/3
f (x, y) dx.
(b)
0 0
dy
√
f (x, y) dx.
1−x2 1 1−x
y √
(c)
−1 1
dx
0
f (x, y) dy +
0 π−arc sen y
dx
0
f (x, y) dy.
(d)
0
dy
arc sen y
f (x, y) dx.
2
6. Siendo eldominio D el tri´ngulo definido por las rectas x = 0, y = 0, x + y = 2, a hallar I =
D
(x − 2y) dxdy.
Resp.: I = −4/3. 7. Calcular
a
√
0
a2 −y 2
(a)
0
dy
2a √
(x2 + y 2 ) dx (a > 0).
2ax−x2
(b)
0
dx
0
dy.
Resp.: (a) a4 π/8; (b) a2 π/2. 8. Calcular las siguientes integrales y dibujar la regi´n de integraci´n: o o i)
|x|+|y|≤1 4 2
|x| dxdy. dy
0 2 y/2 1ii) iii)
1 1
ex dx. x2 dy. y2
2
dx
1/x 1
iv)
0 0
dx
x
(x + y) dy.
2(1−x2 )1/2
v)
−1
dx
0
x dy.
Resp.: i) 2/3; ii) e4 − 1; iii) 17/12; iv) 1/2; v) −2/3. 9. Dada la siguiente integral
1 y 2 2−y
I=
0 0
(x2 + y 2 ) dx dy +
1 0
(x2 + y 2 ) dx dy
(a) Dibujar la regi´n de integraci´n. o o (b) Expresar la integral invirtiendo el orden de integraci´n. o (c)Resolver la integral.
1 2−x
Resp.: I =
0
dx
x
(x2 + y 2 ) dy = 4/3.
4
y−4 2
10. Dada la siguiente integral
0
dy
√ − 4−y
dx:
a) Dibujar la regi´n de integraci´n. o o 3
b) Invertir el orden de integraci´n. o c) Resolver la integral.
0 4−x2
Resp.: I =
−2
dx
2x+4
dy = 4/3.
11. Contestar verdadero o falso a los siguientes planteamientos, justificandosu respuesta: a) Sea z = f (x, y) una funci´n definida en el c´ o ırculo R de centro el origen y radio a, y que verifica f (x, y) = −f (−x, −y), ∀(x, y) ∈ R. Entonces
R 1
f (x, y) dxdy = 0. f (u) du.
−1
b) Si S = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}, entonces
S
f (x + y) dxdy =
Resp.: a) Verdadero (hacer el cambio de variables u = −x, v = −y). b) Verdadero (hacer el cambio de variables u = x +...
1. Determinar los l´ ımites de integraci´n de la integral doble o regiones siguientes: i) S es el tri´ngulo de v´rtices (0, 0), (2, 1), (−2, 1). a e
S
f (x, y) dxdy para las
ii) S est´ limitado por las dos √ a rectas x = −2, x = 2 y por las dos ramas de la √ hip´rbola y = 1 + x2 , y = − 1 + x2 . e iii) S es el anillo 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4. Resp.:
1 2y
i)
S
f (x,y) dxdy =
0
dy
−2y
f (x, y) dx.
ii) Observando la figura se obtiene inmediatamente que
2 √ 1+x2
f (x, y) dxdy =
S −2
dx
√ − 1+x2
f (x, y) dy.
x=-2 -2
1
x=2 2
-1
2
2π
iii)
S
f (x, y) dxdy =
1
du
0
u · f (u cos v, u sen v) dv.
x
t
x
2. Probar que
0
dt
0
F (u) du =
0
(x − u)F (u) du.
Resp.: Al invertir el orden deintegraci´n, resulta o
x t x x x
dt
0 0
F (u) du =
0
du
u
F (u) dt =
0
(x − u)F (u) du.
3. Sea R la mayor de las dos regiones limitadas por la circunferencia x2 + y 2 = 25 y la recta x = 3. Escribir los l´ ımites de integraci´n de la integral o a ambos ordenes de integraci´n. ´ o 1
R
f correspondientes
3
√
25−x2
−4
√
−
25−y 2
Resp.: I =
−5 4
dx3
√ − 25−x2
f (x, y) dy =
5
dy −5 √
−
√
f (x, y) dx
25−y 2
25−y 2
+
−4
dy
−
√
f (x, y) dx +
25−y 2 4
dy
√
f (x, y) dx.
25−y 2
4. Cambiar el orden de integraci´n en las siguientes integrales dobles. o
9π/4 cos x
a)
3π/2 1
dx
sen x x2/3
f (x, y) dy.
2 √ 1− 4x−x2 −3
b)
0
dx
0
f (x, y) dy +
1
dx
0 √
f (x, y) dy.Resp.:
0 2π+arc sen y 2/2 2π+arc sen y
a) I =
−1 1
dy
3π/2 2π+arc cos y √
f dx +
0
dy
2π−arc cos y
f dx
+
dy
2/2 1 2π−arc cos y 2−
f dx. √
1−(y−1)2
b) I =
0
dy
y 3/2
f (x, y) dx.
5. Dibujar la regi´n de integraci´n e invertir el orden de integraci´n en los siguientes o o o casos:
1 3x
(a)
0 1
dx
2x x2
f (x, y) dy. f (x, y) dy.
x3 1−y
(b)
01
dx dy
0 π
(c) (d)
0
−
√
f (x, y) dx.
1−y 2
sen x
dx
0
f (x, y) dy.
Resp.:
2 y/2 3 1
(a)
0 1
dy
y/3 √ 3 y
f (x, y) dx +
2
dy
y/3
f (x, y) dx.
(b)
0 0
dy
√
f (x, y) dx.
1−x2 1 1−x
y √
(c)
−1 1
dx
0
f (x, y) dy +
0 π−arc sen y
dx
0
f (x, y) dy.
(d)
0
dy
arc sen y
f (x, y) dx.
2
6. Siendo eldominio D el tri´ngulo definido por las rectas x = 0, y = 0, x + y = 2, a hallar I =
D
(x − 2y) dxdy.
Resp.: I = −4/3. 7. Calcular
a
√
0
a2 −y 2
(a)
0
dy
2a √
(x2 + y 2 ) dx (a > 0).
2ax−x2
(b)
0
dx
0
dy.
Resp.: (a) a4 π/8; (b) a2 π/2. 8. Calcular las siguientes integrales y dibujar la regi´n de integraci´n: o o i)
|x|+|y|≤1 4 2
|x| dxdy. dy
0 2 y/2 1ii) iii)
1 1
ex dx. x2 dy. y2
2
dx
1/x 1
iv)
0 0
dx
x
(x + y) dy.
2(1−x2 )1/2
v)
−1
dx
0
x dy.
Resp.: i) 2/3; ii) e4 − 1; iii) 17/12; iv) 1/2; v) −2/3. 9. Dada la siguiente integral
1 y 2 2−y
I=
0 0
(x2 + y 2 ) dx dy +
1 0
(x2 + y 2 ) dx dy
(a) Dibujar la regi´n de integraci´n. o o (b) Expresar la integral invirtiendo el orden de integraci´n. o (c)Resolver la integral.
1 2−x
Resp.: I =
0
dx
x
(x2 + y 2 ) dy = 4/3.
4
y−4 2
10. Dada la siguiente integral
0
dy
√ − 4−y
dx:
a) Dibujar la regi´n de integraci´n. o o 3
b) Invertir el orden de integraci´n. o c) Resolver la integral.
0 4−x2
Resp.: I =
−2
dx
2x+4
dy = 4/3.
11. Contestar verdadero o falso a los siguientes planteamientos, justificandosu respuesta: a) Sea z = f (x, y) una funci´n definida en el c´ o ırculo R de centro el origen y radio a, y que verifica f (x, y) = −f (−x, −y), ∀(x, y) ∈ R. Entonces
R 1
f (x, y) dxdy = 0. f (u) du.
−1
b) Si S = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}, entonces
S
f (x + y) dxdy =
Resp.: a) Verdadero (hacer el cambio de variables u = −x, v = −y). b) Verdadero (hacer el cambio de variables u = x +...
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