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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

⎛⎝

9. Dados los números complejos z1 = 2-i, z2 = 4π , z3 = 3 cos

π

π⎞

+ i sen
y z4 = 1 - 3 i, realizar las
4
4⎠
operaciones que se indican a continuación expresando los resultados enforma binómica:
b) z1 + z3

e)

z2
z3

c) z43

d) z1 z3

f)

a) z1 z2

g) z24

h)

z2

3

z3

Solución
En este ejercicio hay que tener en cuenta que para realizar unaoperación entre dos números
complejos, ambos deben estar escritos de la misma forma: binómica, polar o trigonométrica.
a) Expresando z2 en forma binómica se tiene z2 = 4π = 4(cosπ+isenπ) = 4(-1+i0) = -4, ymultiplicando este resultado por z1 se obtiene z1 z2 = (2-i)(-4) = -8+4i.

π⎞
3 2 3 2
2⎞
⎛ 2
⎛ π
= 3
b) Expresando z3 en forma binómica queda z3 = 3 cos + i sen
4⎠
⎝ 4
⎝ 2 + i 2 ⎠ = 2 + 2i, y
3 2 3 2
4+3 2 3 2-2
sumando este resultado con z1 se obtiene z1 + z3 = 2 - i+
+
i=
i.
2
2
2
2
c) El cálculo de potencias de un número complejo se simplifica si éste se expresa en formapolar o
trigonométrica.
Para calcular la expresión polar de z4 = 1 - 3 i es necesario calcular su módulo y su argumento:
l1 - 3 i l =

12+(- 3)2 =

arg(1 - 3 i) = arctg

4=2

5π
- 3
=
31

y así la forma polar de 1 - 3 i es 25π/3
Por tanto, z43 =

(25π/3)

3

3

=2

3.5π/3

= 85π= 8π

Y la expresión binómica del resultado es z43 = 8π = 8(cosπ+isenπ) = 8(-1+0i) = -8d) La forma binómica de z3, obtenida en el apartado b), es z3 =

3 2 3 2
+
i, y multiplicando este
2
2

resultado por z1 se obtiene:
z1 z3 = (2-i)

9 2 3 2
3 2 3 22
⎛3 2 3 2 ⎞
⎝ 2 + 2i⎠ = 3 2 +3 2 i - 2 i - 2 i = 2 + 2 i

e) En este caso resulta más sencillo calcular el cociente en forma polar, para lo que se deben
expresar numerador y denominador en dicha forma:
z2 = 4π...