Números complejos

Capítulo 3

El sistema de los números complejos
3.1. Los números complejos y el plano complejo
La ecuación cuadrática

x2 + 1 = 0,
no tiene soluciones reales, pues cualquiera sea x ∈ R, se verifica que x2 + 1 > 0. Debemos
ampliar R a un conjunto en el cual puedan resolverse situaciones del tipo anterior, de
manera que las propiedades del sistema R se conserven.
Definición 3.1.
1. Elnúmero no real solución única de la ecuación

x2 = − 1
es llamado la unidad imaginaria y se representa por i.
2. El conjunto

C = {x + yi : x, y ∈ R}
formado por los binomios algebraicos en la indeterminada i y coeficientes reales, es
llamado conjunto de los números complejos.
Así

z ∈ C ⇔ z = x + yi,

x, y ∈ R .

El binomio x + yi se denomina forma binómica del número complejo z,mientras que los
números reales x e y son llamados parte real de z y parte imaginaria de z representadas
por x = Re (z) e y = Im (z), respectivamente.
Un número complejo z = x + yi se
representa en el plano cartesiano mediante el radio vector (segmento dirigido) con punto inicial en (0, 0) y
punto final en (x, y). En este caso, los
ejes abscisas y ordenadas se llaman
eje real y eje imaginario,respectivamente, y al plano cartesiano se
conoce como plano complejo o diagrama de Argand.

Eje imaginario
y

O

P

x

z

Eje real

2

Juan Montealegre Scott

Definición 3.2.
1. Un número complejo de la forma z = x + 0i se llama número real.
2. Un número complejo de la forma z = 0 + yi se llama número imaginario (puro).

3.2. El sistema de los números complejos
El sistemade los números complejos es el conjunto C provisto de una relación de
igualdad, y de las operaciones de adición y multiplicación de números complejos.
Definición 3.3 (Igualdad en C). Si z1 = x1 + y1 i y z2 = x2 + y2 i, se dice que

z1 = z2 ⇔ x1 = x2 y y1 = y2 .
Definición 3.4 (Adición en C). Si z1 = x1 + y1 i y z2 = x2 + y2 i, se define la suma de z1 y z2 ,
como
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1+ y2 ) i.
Definición 3.5 (Multiplicación en C). Si z1 = x1 + y1 i y z2 = x2 + y2 i, se define el producto
de z1 y z2 como
z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i.
La adición y la multiplicación de números complejos tienen las siguientes propiedades.
Teorema 3.6. Si z1 , z2 , z3 ∈ C, entonces
1. (z1 + z2 ) ∈ C.
2. z1 + z2 = z2 + z1 .
3. z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 .
4. ∃!0 ∈ C,∀z ∈ C : z + 0 = z.
5. ∀z ∈ C, ∃ (−z) ∈ C : z + (−z) = 0.
Si z = a + bi, entonces −z = −a − bi.
6. z1 z2 ∈ C
7. z1 z2 = z2 z1 .
8. (z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 ).
9. ∃!1 ∈ C, ∀z ∈ C : z · 1 = z.
10. ∀z ∈ C − {0} , ∃!z−1 ∈ C : z · z−1 = 1.
Si z = a + bi, entonces

z−1 =
11. z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
Demostración.

a2

a
b
− 2
i.
2
+b
a + b2

3

Números complejos

4.Es claro que si 0 = 0 + 0i, entonces para cualquier número complejo z se cumple que
z + 0 = z. Por otro lado, si hubiera otro número complejo 0′ tal que z + 0′ = z para
todo número complejo z, entonces
0 = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0′ ,
lo que prueba la unicidad.
5. Si z = a + bi y −z = −a − bi, es claro que z + (−z) = 0. Además, si hubiera otro
número complejo z′ tal que z + z′ = 0, entonces
[
]z′ = z′ + 0 = z′ + [z + (−z)] = z′ + z + (−z) = 0 + (−z) = −z,
probándose la unicidad.
9. Es claro que si 1 = 1 + 0i, entonces para cualquier número complejo z se cumple que
z · 1 = z. Por otro lado, si hubiera otro número complejo w tal que z · w = z, para todo
número complejo z tenemos
w = 1 · w = w · 1 = 1,
lo que prueba la unicidad.
10. Existencia. Si z = a + bi es un número complejodistinto de 0, consideremos z−1 =
x + yi. Entonces, la condición z · z−1 = 1 implica que

(ax − by) + (ay + bx) i = 1 + 0i.
Lo que equivale al sistema de ecuaciones en las incógnitas x y y,
{
ax − by = 1
ay + bx = 0.
a
Para resolver el sistema, usamos el hecho que a2 + b2 ̸= 0, obteniendo x = a2 +b
2 y
b
y = − a2 +b2 . Por lo tanto
a
b
z−1 = 2
− 2
i.
2
a +b
a + b2
Unicidad....