Números Reales

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CAPÍTULO 1 : LOS NÚMEROS REALES
1.1.- INTRODUCCIÓN
Desde los inicios de la Humanidad, se hizo necesario algún sistema de
manejo de cantidades y de tamaños. En la medida que las sociedades
humanas se van desarrollando, este problema se hace más y más
importante. El problema comienza, desde luego, por la identificación y
por lo tanto la designación de las cantidades en su lenguaje. Elmodelo
más simple de cantidad es, sin duda, el de cantidad discreta , es decir,
los números naturales: probablemente la primera actividad matemática
del ser humano fue el contar . Experimentos realizados con animales
domésticos demuestran que estos son capaces de distinguir, digamos
contar, los primeros cuatro o cinco números naturales. Esta habilidad
sin duda también la tenían los primates dela especie homo sapiens que
dieron origen a nuestra civilización. Pero no necesariamente más
desarrollada que estos animales domésticos, como lo demuestra el
descubrimiento de la tribu de los Fayu, en Papúa Occidental (Nueva
Guinea). Este pueblo no tiene en su lengua más que tres palabras para
designar números: satu (uno), dua (dos) y tiga (tres). Las cantidades
mayores son indicadas congestos o con palabras que aluden a muchos.
Su modo de vida no les ha obligado (hasta ahora) a una mayor
precisión de cantidades. Por contraste, los pueblos de la antigua
Mesopotamia y Egipto, así como los Maya en nuestro continente
desarrollaron un sistema de numeración y de manejo de cantidades
bastante notable y sofisticado. Como punto de referencia en que esto
ocurría, diremos que el primercalendario sumerio encontrado data del
año 5.700 AC y los ladrillos grabados de los babilonios datan de
alrededor del año 2.000 AC., mientras que el sistema de numeración
maya ha sido fechado en el siglo tercero antes de cristo. Es claro que el
desarrollo del comercio y la agricultura en estos pueblos obligó a
desarrollar a su vez un sistema de numeración y de manejo de números.
Los ladrillossumerios muestran un manejo bastante avanzado de las
operaciones algebraicas (el “álgebra babilónica”), que incluía el cálculo
de interés compuesto, cálculos con pesas y medidas, ecuaciones
cuadráticas y otros. También es claro que el solo manejo de los
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números naturales no fue suficiente: probablemente desde un principio
los mercaderes babilónicos se vieron en la necesidad de modelar lanoción de división y por lo tanto del desarrollo y manejo de fracciones.
Las operaciones con estos números es cualquier cosa menos trivial.
Estamos tan adiestrados desde nuestra niñez a manejar (por desgracia,
mecánicamente) las operaciones con fracciones que no nos damos
cuenta de la tremenda dificultad conceptual que encierran.
Pero son los griegos de la época clásica (y un poco antes)quienes
demuestran la insuficiencia de las fracciones para modelar tamaños: un
buen modelo de tamaño tendría que contemplar la relación entre los
catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa. Se atribuye a la
escuela pitagórica el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz
cuadrada de dos. Nótese que, si nos quedamos con las fracciones como
modelo, entonces, tomando el largo de uncateto como unidad, el largo
de la hipotenusa quedaría fuera del modelo, es decir, el modelo no nos
daría un tamaño exacto.
Los pitagóricos posiblemente han razonado del siguiente modo para
demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos:
Supongamos que 2 es una fracción, digamos p/q, donde podemos
suponer que p y q son primos relativos, es decir, no tienen factores
comunes (si lotuvieran, bastaría con simplificarlos). Si elevamos al
cuadrado, obtenemos que p2 = 2q2 , por lo tanto p2 es par. Pero si el
cuadrado de un número es par, el número mismo debe ser par (los
cuadrados de los impares son impares, como lo demuestra la fórmula
(2n +1)2 = 4n2 + 4n +1). Por lo tanto p es de la forma 2n con lo que
p2 = 4n2 = 2q2 . Simplificando por dos, resulta: q2 = 2 p2 , es decir, q...