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MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG 
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
[pic]
usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para queeste método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados.

Sea [pic] el valor de la integral queaproxima a [pic], mediante una partición de sub-intervalos de longitud [pic] y usando la regla del trapecio. Entonces, 
[pic] 
donde [pic] es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla. 
El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.
El algoritmo más eficiente dentro de éste método, sellama Integración de Romberg, la cual es una fórmula recursiva.
Supongamos que tenemos dos aproximaciones : [pic] e [pic] 
[pic] 
Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n sub-intervalos está dado por las siguientes fórmulas: 
[pic] 
[pic] 
donde [pic] es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de lossubintervalos.
Ahora bien, si suponemos que el valor de [pic] es constante, entonces : 
[pic]
[pic] 
Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que: 
[pic]
[pic] 
[pic] 
De aquí podemos despejar [pic]: 
[pic] 
[pic] 
En el caso especial cuando [pic] (que es el algoritmo de Romberg), tenemos : 
[pic] [pic]
Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta dondese desee. 
Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando [pic] .
Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja delnivel anterior.  
Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n. 
Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior. 
[pic]
Ejemplo 1.
Usar el algoritmo de Romberg, paraaproximar la integral 
[pic] 
usando segmentos de longitud [pic] .
Solución.
Primero calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las longitudes de segmentos indicadas: 
[pic]
Con estos datos, tenemos:
| |[pic] |
| |[pic]|
| |[pic] |

Ahora pasamos al segundo nivel de aproximación donde usaremos la fórmula que se dedujo anteriormente: 
[pic] 
donde [pic] es la integral menos exacta (la que usa...