Newton
Páginas: 3 (560 palabras)
Publicado: 25 de febrero de 2014
Métodos Numéricos I
UNIDAD 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES
Método de Newton Rapson o de la Tangente
2.3 Método de Newton Raphson o de la Tangente11
Introducción
Sea
f (x) una función lacual tiene al menos una raíz, donde f ' ( x) es continua, si contamos
con un valor próximo a alguna raíz podemos seguir acercándonos mediante aproximaciones
sacando rectas tangentes a la función yel punto donde la recta cruza el eje de las x será la
nueva aproximación.
Gráficamente tenemos lo siguiente:
Modelo
f(x)=0
Supuestos de Aplicación
• La función f(x) debe de ser continua•
f (x) debe ser diferenciable
•
f ' ( x) es continua.
•
f '' ( x) es de signo invariable
(Burden, 1998; Chapra, 1999; Maron, 1995; Nieves, 2003; Sheid, 1995)
Página 65
MétodosNuméricos I
UNIDAD 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES
Método de Newton Rapson o de la Tangente
Valores Iniciales
•
• Error de tolerancia
Recursiva
x n +1 = x n −
f ( xn )
f ' ( xn )f ' ( xn ) ≠ 0
Aplicando la serie de Taylor cercano a un punto x = a se tiene que:
f ( x) = f (a) + ( x − a) f ' (a) +
( x − a) 2 f " (a)
+L
2!
Si trabajamos con 2 términos de estaserie y x n es la aproximación y x n +1 es la raíz
buscada, tenemos que:
f ( x n +1 ) = f ( x n ) + ( x n +1 − x n ) f ' ( x n )
Como podemos ver en la gráfica vista con anterioridad xn+1 es elvalor donde la recta
cruza el eje x entonces
f ( xn +1 ) = 0 , tenemos que:
0 = f ' ( x n ) + ( xn +1 − xn ) f ' ( xn )
Como queremos conocer
xn +1 despejamos y nos queda:
− f ( xn ) = ( x n+1 − xn ) f ' ( xn )
− f ( xn )
= x n +1 − x n
f ' ( xn )
x n +1 = x n −
f ( xn )
f ' ( xn )
Convergencia
Para detener este método se analiza si
f ( x n+1 ) es menor al error detolerancia que se
desea manejar.
Nota: Como este método puede caer en un ciclo se define un número máximo de
iteraciones para detenerlo.
Página 66
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UNIDAD 2. SOLUCIÓN...
UNIDAD 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES
Método de Newton Rapson o de la Tangente
2.3 Método de Newton Raphson o de la Tangente11
Introducción
Sea
f (x) una función lacual tiene al menos una raíz, donde f ' ( x) es continua, si contamos
con un valor próximo a alguna raíz podemos seguir acercándonos mediante aproximaciones
sacando rectas tangentes a la función yel punto donde la recta cruza el eje de las x será la
nueva aproximación.
Gráficamente tenemos lo siguiente:
Modelo
f(x)=0
Supuestos de Aplicación
• La función f(x) debe de ser continua•
f (x) debe ser diferenciable
•
f ' ( x) es continua.
•
f '' ( x) es de signo invariable
(Burden, 1998; Chapra, 1999; Maron, 1995; Nieves, 2003; Sheid, 1995)
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UNIDAD 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES
Método de Newton Rapson o de la Tangente
Valores Iniciales
•
• Error de tolerancia
Recursiva
x n +1 = x n −
f ( xn )
f ' ( xn )f ' ( xn ) ≠ 0
Aplicando la serie de Taylor cercano a un punto x = a se tiene que:
f ( x) = f (a) + ( x − a) f ' (a) +
( x − a) 2 f " (a)
+L
2!
Si trabajamos con 2 términos de estaserie y x n es la aproximación y x n +1 es la raíz
buscada, tenemos que:
f ( x n +1 ) = f ( x n ) + ( x n +1 − x n ) f ' ( x n )
Como podemos ver en la gráfica vista con anterioridad xn+1 es elvalor donde la recta
cruza el eje x entonces
f ( xn +1 ) = 0 , tenemos que:
0 = f ' ( x n ) + ( xn +1 − xn ) f ' ( xn )
Como queremos conocer
xn +1 despejamos y nos queda:
− f ( xn ) = ( x n+1 − xn ) f ' ( xn )
− f ( xn )
= x n +1 − x n
f ' ( xn )
x n +1 = x n −
f ( xn )
f ' ( xn )
Convergencia
Para detener este método se analiza si
f ( x n+1 ) es menor al error detolerancia que se
desea manejar.
Nota: Como este método puede caer en un ciclo se define un número máximo de
iteraciones para detenerlo.
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