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Parte I
Superficies

Matemáticas 2
Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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Introducción
El presente trabajo recopila los temas que se desarrollaron en el curso de Matemáticas III. Esta primera parte corresponde al contenido de los capítulos de Superficies,
Funciones de varias variables, limites, Derivadas máximos y mínimos,
transformaciones, Integrales dobles y triples.Funciones vectoriales, integrales de
linea.

Matemáticas 2
Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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Superficies
2.1.

Introducción

Breve descripción de las superficies

2.2.

Superficies

Si bien las curvas son objetos matemáticos con un grado de libertad, las superficies
serán objetos matemáticos con 2 grados de libertad, por lo que tendremos que recurrir
a dos parámetroslibres así, la definimos con una parametrización de la forma “spu, vq2 .
Una vez más, haciendo referencia a la otra forma de definir una superficie, que
es mediante ecuaciones, implica “N ´ 22 de ecuaciones, siendo “N 2 la dimension de
nuestro espacio. O dicho de otra forma, si queremos definir una superficie mediante
una única ecuación debemos ubicarnos en el 3-espacio euclídeo.
Visualmente, si lacurva la interpretábamos como la trayectoria que seguía una
partícula a lo largo del tiempo, la superficie podemos interpretarla como el conjunto de rutas limitadas por el entorno que puede seguir una partícula en el espacio o
la trayectoria del movimiento de una curva. Más adelante veremos más claros éstos
conceptos.
Tipos de Parametrización:
Al igual que en las curvas, podemos calificar lasparametrizaciones como intuitivas,
matemáticas o sobre coordenadas, siendo excluyentes tan solo el primer y el segundo
método. Probemos con algunos ejemplos de cada:
-Parametrización Intuitiva:
El mejor ejemplo de parametrización intuitiva de una superficie es la que podríamos
tener del plano. Si consideramos a nuestro plano como una recta:
r “ r0 ` ta
a`a
Matemáticas 2
Autor: Rolando GandhiAstete Chuquichaico

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

SUPERFICIES

a`b“c
, simplemente tenemos que sumar una segunda traslación a nuestra inicial “vt2 , de
modo que:
s “ s0 ` tv ` lw
Podemos considerar también intuitiva la parametrización de las superficies cuádricas degeneradas vistas en geometría en el espacio, como es el caso del cilindro.2.2.1.

Representaciones paramétricas regulares

Una representación paramétrica regular de clase C m de un conjunto de puntos S
de R3 es una aplicación x “ xpu, vq de un conjunto abierto U del plano uv sobre S, tal
que.
(i) (i) x es de clase C m
(ii) (ii) Si pe1 , e2 , e3 q es una base de R3 y xpu, vq “ x1 pu, vqe1 ` x2 pu, vqe2 ` x3 pu, vqe3 ,
entonces,para todo pu, vq de U, es el

¨rango ˝

Bx1
Bu
Bx2
Bu
Bx3
Bu

Bx1
Bv
Bx2
Bv
Bx3
Bv

˛
‚“ 2

(2.1)

Si consideramos el parámetro u constante de la forma u “ u0 , la representación
paramétrica toma la forma x “ xpu0 , vq “ xpvq corresponde a una curva de parámetro
v, que se llama curva u “ u0 . Análogamente para v “ v0 cte. se tiene una curva de
parámetro u. De ésta manera la representación paramétrica cubre aS con dos familias
de curvas, que constituyen la imagen de las rectas coordenadas v “ cte. u “ cte, donde
S es la imagen de la aplicación. Si consideramos la derivada parcial xu pu0 , v0 q , ésta es
un vector tangente a la recta de parámetro u , análogamente xv pu0 , v0 q es un vector
tangente a la curva de parámetro v, ambas tangentes a S.
Los vectores tangentes xu pu0 , v0 q y xv pu0 , v0q son llamados vectores tangentes parciales de la superficieS : x “ xpu, vq en pu0 , v0 q. Si hacemos el producto vectorial entre
ambos vectores tangentes se tiene el vector

xu ˆ xv

ˇ
ˇ
ˇ i
j
k ˇ
ˇ
ˇ Bx
“ ˇ Bu1 Bx2 Bx3 ˇ
Bu
Bu ˇ
ˇ
ˇ Bx1 Bx2 Bx3 ˇ
Bv
Bv
ˆ Bv
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
Bx2 Bx3 Bx3 Bx2
Bx3 Bx1 Bx1 Bx3
Bx1 Bx2 Bx2 Bx1
“
´
e1 `
´
e2 `
´
e1
Bu Bv
Bu Bv
Bu Bv
Bu...