Ninguno

Ap´ ndice A e Algebra lineal y conjuntos convexos
El m´ todo simplex que se describir´ en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y e a consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar la que optimiza una funci´ n objetivo. Sin embargo, el estudio de la geometr´a o ı de la programaci´ n lineal es instructiva para la comprensi´ n del procedimiento o o algebraico. Eneste ap´ ndice recopilamos resultados b´ sicos de algebra lineal y conjuntos e a ´ convexos necesarios para el desarrollo de los temas posteriores.

A.1 Matrices y vectores
Consideramos el cuerpo R . A los elementos de R se les llama escalares. Se llama matriz a un cuadro de escalares con m filas y n columnas  a11 a12 ··· a1n 

   a21 a22 · · · a2n A= . . .  . .. . . .  . . .  am1 am2· · · amn

   .   

Se dice que la matriz es de tama˜ o (o dimensi´ n) m×n. Tambi´ n se puede utilizar n o e la notaci´ n A = (aij ). o Una matriz con una sola columna, es decir de tama˜ o m × 1, se considera un n 215

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Ap´ ndice A. Algebra lineal y conjuntos convexos e

vector columna

a  11   a21 a= .  .  .  am1 Ejemplos.



   .   



1. Elsiguiente cuadro de n´ meros es una matriz de tama˜ o 3 × 4: u n   2 3 −2 5 1    1 . A= 0 7 2 2    1 0 1 1 2. El siguiente cuadro de n´ meros es un vector de dimensi´ n 3: u o   3     a =  0 .   1 2

A.1.1 Operaciones con matrices
Suma. Dadas dos matrices de tama˜ o m × n, A = (aij ), B = (bij ) ∈ R m×n , se llama n suma de A y B, y se representa como A + B, a la matriz C = (cij )∈ R m×n , que se obtiene sumando, elemento a elemento: cij = aij + bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Notemos que, para sumar dos matrices, estas tienen que tener el mismo tama˜ o y ´ n el resultado es una matriz del mismo tama˜ o. n

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A.1. Matrices y vectores

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De la misma manera se define la suma de vectores, s´ lo hay que tener en o cuenta que unvector es una matriz con una sola columna. Ejemplos.  1 3    1 4 

1. Dados los vectores a = 

yb= 1 3  + 1  1 4

,  2 7  .  1 4 2 0 

a+b= 



= 

1 0

1

  2. Dadas las matrices A =  0 1 −1 0  2 0 1 −3 1 0 1 1   A+B =  0 1 −1 0  2 0 1 −3   

    y B =  0 0 −1  0   1 1 2 −1  

  ,  

1 4 2 0     + 0 0 −1 0   1 1 2 −12 4 3 1      =  0 1 −2 0   3 1 3 −4 2

  . 

Propiedades. 1. La suma de matrices es una operaci´ n interna en R m×n . o A, B ∈ R m×n ⇒ A + B ∈ R m×n . 2. La suma de matrices es conmutativa. (∀A, B ∈ R m×n ) A + B = B + A. 3. La suma de matrices es asociativa. (∀A, B, C ∈ R m×n ) (A + B) + C = A + (B + C).

Investigaci´ n Operativa. Programaci´ n Lineal o o

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Ap´ ndiceA. Algebra lineal y conjuntos convexos e

4. La suma de matrices tiene elemento neutro 0 ∈ R m×n . (∀A ∈ R m×n ) A + 0 = 0 + A = A. 5. Toda matriz A ∈ R m×n tiene opuesta −A ∈ R m×n . A + (−A) = (−A) + A = 0. La suma de vectores cumple las mismas propiedades que la suma de matrices. Producto por un escalar. Dados un escalar α ∈ R y una matriz A = (aij ) ∈ R m×n , se llama producto de α por A, yse representa α · A, a la matriz B = (bij ) ∈ R m×n , que se obtiene multiplicando cada elemento de A por α: bij = α · aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Notemos que el resultado de multiplicar un escalar por una matriz, es otra matriz del mismo tama˜ o. n   Ejemplos. 0 −2     1. Dada la matriz A =  1 2 , y el escalar α = −2, el producto   1 1     0 4 0 −2         α · A= −2 ·  1 2  =  −2 −4  .     −2 −2 1 1   1     2. Dados el vector a =  3  y el escalar α = 1 , el producto 2   −5     1 1   2  1      α · a = ·  3  =  3 .   2  2  −5 −5 2 2

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A.1. Matrices y vectores

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Producto escalar de vectores. Dados  vector fila aT = (a1 · · · an ) ∈ R 1×n y un vector columna b = un  b  1   ....