Nociones Básicas De Cálculo Numérico

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1.1.

NOCIONES BÁSICAS DE
CÁLCULO NUMÉRICO

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAGRANGE

1.1.1. Introducción
El problema de la interpolación polinomial en el sentido de Lagrange consiste en
aproximar una cierta función real f(x) mediante un polinomio pn(x) de grado igual o
menor que n de tal forma que pn(x) y f(x) tomen idénticos valores en al menos n+1
puntos distintos de [a,b].
Teorema 1.1. Dada unafunción real f definida sobre  a, b    y un conjunto de n+1
puntos {x0, x1, …, xn} diferentes de [a,b], existe un único polinomio pn(x) de grado
igual o menor que n tal que:
(1.1)

pn  xi   f  xi 

i  0,1, , n

DEMOSTRACIÓN. Un polinomio de grado igual o menor que n tiene la forma:
pn  x   a0  a1 x  a2 x 2    an x n

Si obligamos a que verifique las condiciones (1.1):
pn  x0  a0  a1 x0  a2 x02    an x0n  f  x0 

(1.2)

pn  x1   a0  a1 x1  a2 x12    an x1n  f  x1 

pn  xn   a0  a1 xn  a2 xn2    an xnn  f  xn 

(1.2) constituye un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es:
1

1
X


1

x0
x1

xn

x02  x0n 

x12  x1n 

 

xn2  xnn 

cuyo determinante es siempre no nulo al ser de Vandermonde y x0,x1, …, xn todos
distintos. Por consiguiente, el rango de X es n+1 y el sistema (1.2) admite solución
única.
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DEFINICIÓN. El polinomio pn(x) que satisface las condiciones (1.1) recibe el nombre de
polinomio interpolador de la función f(x) relativo al soporte {x0, x1, …, xn}.

1.1.2. Polinomios de base de Lagrange
Si fuese posible determinar n+1 polinomios, li(x), de grado n tales que:
(1.3)1
li  x j   
0

si
si

i j
,
i j

i, j  0,1,..., n

pn(x) se podría expresar como:
(1.4)

pn  x   f  x0  l0  x   f  x1  l1  x   ...  f  xn  ln  x 

Teorema 1.2. En las condiciones del teorema 1.1, los polinomios li(x) determinados
mediante:
n

li  x   

(1.5)

j 0
j i

x  xj
xi  x j

verifican la condición (1.1) y, por consiguiente, el polinomio interpolador sepuede
expresar de la forma:
n

(1.6)

pn  x   f  x0  
j 0
j 0

x  xj
x0  x j

n

 f  x1  
j 0
j 1

x  xj
x1  x j

n

 ...  f  xn  
j 0
jn

x  xj
xn  x j

DEFINICIÓN. Los polinomios (1.4) se denominan polinomios de base de Lagrange.
DEMOSTRACIÓN. Evidente. Basta para ello calcular li  x j  utilizando la expresión
(1.5):
(1.7)

li  x j  

x j  x0 x j  x1
xi  x0 xi x1



x j  xi 1 x j  xi 1
xi  xi 1 xi  xi 1



x j  xn
xi  xn

Si i = j, el numerador y el denominador de todas las fracciones que aparecen en
(1.7) son iguales y, por tanto, li  xi   1 . En cambio, si i ≠ j, el numerador de la j-ésima

(si j < i) o de la j-1-ésima (si j > i) fracción de (1.7) se anula haciendo que li  x j   0 .

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En la figura 1.1. se han representado lospolinomios de base de Lagrange
correspondientes al caso n = 2.

l1(x)
l2(x)
l0(x)

Figura 1.1: Polinomios de base de Lagrange para el caso n=2.

Nota. Dado que el polinomio interpolador de una función relativo a un soporte dado es
único, el polinomio interpolador de un polinomio de grado n relativo a un soporte de
n+1 puntos es él mismo. Por tanto, dados n+1 puntos distintos {x0, x1, …, xn},cualquier
polinomio pn(x) de grado n se puede expresar como:
(1.8)

n

n

i 0

j 0
j i

pn  x    pn  xi  

x  xj
xi  x j

1.1.3. Diferencias divididas. Fórmula de Newton

Buscamos ahora una forma más cómoda de expresar el polinomio interpolador
que la expresada en (1.6). Consideremos, igual que en ocasiones anteriores, un
conjunto de n+1 puntos distintos {x0, x1, …, xn} y un polinomio pn(x)expresado en la
forma:
pn  x   a0  a1  x  x0   a2  x  x0  x  x1     an  x  x0  x  x1   x  xn 1 

Si consideramos el soporte formado por un único punto, {x0}, el polinomio
interpolador de la función f(x) relativo a este soporte es:
p0  x   a0

y, como p0  x0   f  x0  , resulta:
a0  f  x0 

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Sea ahora el soporte formado por dos puntos, {x0, x1}, el...