nociones basicas calculo

C´ lculo
a
1. Nociones b´ sicas
a

Oct, 2008

Nociones b´ sicas
a
N´ meros complejos
u
Funciones reales de variable real
Valor absoluto
Funciones polin´ micas y racionales
o
Funci´ n exponencial y logar´tmica
o
ı
Funciones trigonom´ tricas
e
Funciones trigonom´ tricas inversas
e
L´mites
ı
Continuidad
Derivaci´ n de funciones reales de variable real
o
Extremos relativosTeoremas del c´ lculo diferencial
a
Concavidad y convexidad
Derivaci´ n impl´cita y param´ trica
o
ı
e
Polinomio de Taylor

Conjuntos de n´ meros
u
IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C
Densidad de Q en IR: dados a, b ∈ IR, a < b, existe q ∈ Q t.q. a < q < b
Sea un subconjunto A ⊂ IR, A = φ .

Definici´ n
o
Decimos que s ∈ IR es cota superior de A si:
x ≤ s,

∀x ∈ A

En este caso, decimosque A est´ acotado superiormente
a
De manera an´ loga, se dice que i ∈ IR es cota inferior del conjunto A si
a
i ≤ x, ∀x ∈ A, y decimos que A est´ acotado inferiormente
a
Si un subconjunto de IR est´ acotado superior e inferiormente, lo
a
llamamos acotado
´
Las cotas superior e inferior no son necesariamente unicas

Conjuntos de n´ meros
u

Definici´ n
o
Decimos que s ∈ IR essupremo de A si s es cota superior de A y cualquier
otra cota superior, s , de A verifica: s ≤ s . Decimos que i ∈ IR es ´nfimo de A
ı
si i es cota inferior de A y cualquier otra cota inferior, i , de A verifica: i ≤ i
El supremo e ´nfimo de A se representan por sup(A) e ´nf(A), resp.
ı
ı
Si, adem´ s, pertenecen al propio conjunto A, se les llama m´ ximo y
a
a
m´nimo:
ı
sup(A) ∈ A =⇒ sup(A) = m´x(A)
a
´nf(A) ∈ A =⇒ ´nf(A) = m´n(A)
ı
ı
ı

Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vac´o y acotado
ı
superiormente. Entonces existe sup(A)

N´ meros complejos
u
Definici´ n
o
´
El conjunto de los numeros complejos es
C = {a + bi / a, b ∈ IR},
√
donde i = −1 es la unidad imaginaria.
En C operaremos de la siguiente manera:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a+ bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Distintas representaciones de un n´ mero complejo z:
u
a + ib = (a, b) = |z|θ
√
|z| = a2 + b2 es el m´ dulo, o distancia al origen
o
θ ∈ [0, 2π) se denomina argumento
Propiedades:
Sea a ∈ IR; entonces a = a + 0i ∈ C. Podemos considerar IR ⊂ C
Todo polinomio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 (ai ∈ C) tiene
n ra´ces en C
ı

Funci´ nreal de variable real
o
Sea A ⊂ IR

Definici´ n
o
La correspondencia f : A −→ IR es una funci´ n si a cada x ∈ A le
o
corresponde una unica imagen f (x) ∈ IR
´
Llamamos:
dominio: D(f ) = {x / existe f (x)} = {x /f (x) ∈ IR}
imagen: Im (f ) = {y ∈ IR / y = f (x) para alg´ n x ∈ IR}
u

Definici´ n
o
Decimos que f es una funci´ n acotada si su imagen es un conjunto acotado
o(respectivamente, hablaremos de funci´ n acotada inferiormente y/o acotada
o
superiormente).

Funci´ n real de variable real
o
Sea f : A −→ IR una funci´ n real de variable real.
o

Definici´ n
o
Sea B ⊂ A. f es creciente en B si
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ,

∀x1 , x2 ∈ B

An´ logamente se define funci´ n estrictamente creciente, decreciente
a
o
y estrictamente decreciente

Definici´n
o
Decimos que f es inyectiva si:
x1 = x2

=⇒

f (x1 ) = f (x2 )

Funci´ n real de variable real. Simetr´as
o
ı
Definici´ n
o
Decimos que una funci´ n f es par si f (x) = f (−x), y decimos que es impar
o
si f (x) = −f (−x)

Funci´ n par
o

Funci´ n impar
o

Nota
El nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios con
exponente par (x2 , x4 , x6 ,...) tienensimetr´a par y los monomios con
ı
exponente impar (x, x3 , x5 ,...) tienen simetr´a impar.
ı

Funci´ n real de variable real. Periodicidad
o
Definici´ n
o
Sea f : R → R. Diremos que f es peri´ dica, con per´odo T si
o
ı
f (x) = f (x + T),

∀x ∈ R.

El ejemplo m´ s cl´ sico de funciones peri´ dicas son las funciones
a a
o
trigonom´ tricas.
e
Si sabemos que una funci´ n tiene un...