Notas Polinomios

Cap´ ıtulo 4

Polinomios
En el cap´ ıtulo anterior (n´meros reales) se resolvi´ la ecuaci´n lineal de primer grado ax+b = 0, u o o y se demostr´ que ten´ soluci´n unica cuando a ̸= 0. En este cap´ o ıa o ´ ıtulo se estudiar´ la ecuaci´n a o de segundo grado con una inc´gnita, en este curso, no se estudiar´ las ecuaciones de grado tres o o a mayor. Corresponde al ´lgebra superior estudiar laecuaci´n de n-´simo grado en una inc´gnita, a o e o con coeficientes complejos (C). a0 + a1 x + · · · + an xn = 0, a0 , . . . , an ∈ C.

Sin embargo, en estas notas se trabaja con n´meros reales. Resolver la ecuaci´n anterior significa u o encontrar para la inc´gnita x unos valores num´ricos que satisfagan la ecuaci´n. Los estudiosos del o e o ´lgebra han demostrado que es m´s conveniente sustituirel estudio de la ecuaci´n anterior por el a a o problema m´s general del estudio del primer miembro de la igualdad anterior. Lo cual lleva a la a siguiente definici´n. o o Definici´n 4.1. Un polinomio p en la indeterminada x con coeficientes reales es una expresi´n de o la forma p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn donde a0 , a1 , . . . , an ∈ R. La expresi´n ai xi se llama termino de grado i. Unpolinomio que consta de un t´rmino se llama o e monomio, si tiene dos t´rminos se llama binomio, si tiene tres, se llama trinomio. Si an ̸= 0, se e dice que el polinomio tiene grado n, y se escribe, n = deg p. El t´rmino an xn se llama t´rmino e e principal del polinomio. Se suele omitir los t´rminos con coeficientes iguales a cero. El polinomio e cuyos coeficientes son todos iguales a cero, se llamapolinomio nulo y no se le atribuye grado alguno. En particular, no se denominan polinomios las expresiones que contengan a la indeterminada x con exponentes negativos o fraccionarios, por ejemplo, x2/3 + x + 1, ax−1 + cx−2 . 1

2 Definici´n 4.2. Se dice que dos polinomios o p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn y q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm son iguales si m = n y ai = bi , ∀ i = 0, 1, . . . , n.CAP´ ITULO 4. POLINOMIOS

Es conveniente escribir xi en lugar de 1xi , y −ai xi en lugar de (−ai ) xi , as´ el polinomio ı p(x) = 2 + 5x + 1x2 + (−7) x3 se escribe como p(x) = 2 + 5x + x2 − 7x3 . El t´rmino a0 , tambi´n puede escribirse como a0 x0 . Este t´rmino se le llama t´rmino independiente. e e e e Se suele escribir un polinomio empezando con el t´rmino de menor a mayor grado o en ordeninverso. e Por ejemplo, el polinomio p(x) = −7x3 + x2 + 5x + 2 est´ escrito a partir del monomio de grado mayor al de grado menor. a

4.1.

´ Algebra de polinomios

A continuaci´n se definen las operaciones de adici´n y multiplicaci´n para los polinomios. En la o o o siguiente definici´n, sin p´rdida de generalidad se asumir´ que el grado n del polinomio p es mayor o e a que el grado m delpolinomio q. Definici´n 4.3. Dados dos polinomios o p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn y q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm , de grados n y m, respectivamente. Se define la suma p(x) + q(x) como el polinomio, p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (am + bm )xm + am+1 xm+1 + · · · + an xn Proposici´n 4.4. El grado de la suma de dos polinomios no nulos es menor o igual que el m´ximo o a de los gradosde los polinomios sumandos. Es decir, si p y q son polinomios de grados n y m, respectivamente, entonces deg(p + q) ≤ max{deg p, deg q}

´ 4.1. ALGEBRA DE POLINOMIOS Ejemplo 4.5. Sean p(x) = 2x3 + x2 + 8x − 2 y q(x) = 3x2 − 4x + 8. Calcular p(x) + q(x). Soluci´n: o p(x) + q(x) = (2x3 + x2 + 8x − 2) + (3x2 − 4x + 8) = 2x3 + (1 + 3)x2 + (8 − 4)x + (−2 + 8) = 2x3 + 4x2 + 4x + 6

3

Obs´rveseque deg p = 3 y deg q = 2, y que se cumple el resultado de la proposici´n 4.4, deg(p+q) = e o 3 ≤ m´x(3, 2). a Definici´n 4.6. Dados dos polinomios o p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn y q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm , de grados n y m, respectivamente. Se define el producto de p(x) y q(x) como el polinomio p(x)q(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + · · · + an bm xn+m . Un...