Nuclear

SOLUCION SEGUNDA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALES Ingeniería Civil Código 10008-11039-19003-95007- 96008 Primer Semestre 2008 Pregunta 1 Sea un resorte cuya constante es 32 libras por pies. De éste se sujeta en su extremo inferior un peso de 4 libras. Una vez el sistema en su posición de equilibrio, se suelta el peso desde 3/4 pies sobre dicha posición, con una velocidad 12 pies por segundo haciaarriba. a) Determinar: Periodo, frecuencia, amplitud, el ángulo de fase, y ecuación del movimiento en la forma x = c cos(wt ) b) En el instante t0 que pasa el peso por tercera vez por la posición de equilibrio, en dirección hacia arriba, se aplica una fuerza numéricamente igual a 8sen(16t) libras. Determine t0 y ecuación del movimiento para t t0 Solución a) Sea k = 32 , constante del resorte 4 m =32 [Slug], masa del peso k 2 w = m = 256 =) w = 16, frecuencia angular. Es movimiento armónico simple Periodo : T = 2 = 2 = 8 [seg] w 16 1 Frecuencia : f = T = 8 [Hz] Ecuación diferencial : mx" + kx = 0 x" + 256x = 0 cuya solución general es: x = c1 cos(16t) + c2 sen(16t) además x0 = 16c1 sen(16t) + 16c2 cos(16t) 0:1 0:1 +
4

0:1 0:1

0:1

0:1

y si t = 0 , x(0) = 3 ; x0 (0) = 12 4 3 3entonces c1 = 4 ^ c2 = 4 ; de donde: p p 2 + c2 = 3 2 Amplitud : A = c1 2 4 3=4 Ángulo de fase: = arctg( 3=4 ) =) = Como x(t) = c cos(wt ) entonces x(t) = 3p 2 cos(16t 4 5 ) 4

=

5 4

0:1 0:2

0:1 t0

b) Ecuación diferencial del movimiento, para t 1

mx" + kx = fe (t) () x" + 256x = 64sen(16t); x0 = x(to ); x0 = x0 (to ) 0

0:1

Determinación de t0 : Si x(t) = 0 entonces cos(16t54 ) = 0 1 =) t = 16 ( 74 + k ) k = 1; 0; 1; 2; ::: 0:1 cuando pasa por tercera vez por punto de equilibrio hacia arriba corresponde a t0 = t 4 , es decir: 1 1 0:1 t0 = 16 ( 74 + 4 ) = 16 23 4 p p 3 como x0 (t) = 16 4 2sen(16t 54 ) = 12 2sen(16t 54 ) entonces x(t0 ) = 0 ^ p p p 5 x0 (t0 ) = 12 2sen( 23 12 2sen( 18 ) = 12 2 0:2 4 4 )= 4 Solución de la homogenea: xh = c1 cos(16t) + c2 sen(16t)Solución particular: Por variación de constantes, una solución particular, adecuada es: xp = t(A cos(16t) + Bsen(16t)) 0:1 Derivando, x0 = (16Bt + A) cos(16t) + ( 16At + B)sen(16t) p x"p = (32B 256At) cos(16t) (32A + 256Bt)sen(16t) y reemplazando en ecuación diferencial, se tiene: 32B cos(16t) 32Asen(16t) = 64sen(16t) donde B = 0 y A = 2 Luego xp = 2t cos(16t) 0:2 ) x(t) = c1 cos(16t) + c2 sen(16t) 2tcos(16t) Calculo de c1 y c2 : x0 (t) = 16c1 sen(16t) + 16c2 cos(16t) + 32tsen(16t) 2 cos(16t) p como x(0) = 0 y x0 (t) = 12 2 ^ t0 = 23 64 p 1 sen(16t0 ) = sen( 23 ) = sen( 4 ) = 2 2 4 p cos(16t0 ) = cos( 4 ) = 1 2 2 Se tiene: 1p 23 1 p 2 2 2 2 64 2 1p 1p 23 1p 1p 16c1 2 + 16c2 2 + 32 ( 2) 2 2 2 2 64 2 2 c1 c2 Resolviendo el sistema c1 = 22 + 23 1 2 = (23 22) 32 32 23 22 23 22 c2 = = 32 32 32 32
132 (23

1p 2 2

= =

0 p 12 2

16 23 32

Por lo tanto x(t) = 22) cos(16t)
22 32 sen(16t)

2t cos(16t)

0:2

2

Pregunta 2 Usando el método de Frobenius encuentre la solución general alrededor de x = 0 de la ecuación 2x2 (2 + x)y" + 5x2 y 0 + (1 + x)y = 0 Solución La ecuación se puede escribir (1+x) 5x2 x2 y" + 2(2+x) y 0 + 2(2+x) y = 0 de donde P (x) =
5x 2(2+x)

y Q(x) =(1+x) 2(2+x)

que son analíticas en x = 0 P (0) = 0 y Q(0) = 1 4 Ecuación indicial: r(r 1) + 1 = 0 4 que podemos escribir 4r2 4r + 1 = 0
1 Por lo que r1 = r2 = 2 1 1 X X ck xk = ck xk+r Sea (x) = xr k=0

0:2 o (2r 1)2 = 0

Derivamos

0

(x) =

k=0

1 X

k=0

ck (r + k) xk+r
1 X

1

; 1) xk+r
2

"(x) =

ck (r + k)(r + k

k=0

Para sustituir, considerando c0 6= 0:4x2 y" =
1 X

4ck (r + k)(r + k 1))xr +
1 X

1)xk+r 4ck (r + k)(r + k 1)xk+r

k=0

= 4c0 (r(r

k=1

2x3 y" = =

k=0 1 X

1 X

2ck (r + k)(r + k 2ck
1 (r

1)xk+r+1 2)xk+r

+k

1)(r + k

k=1

5x2 y 0

= =

k=0

X

1 X

5ck (r + k)xk+r+1 5ck
1 (r

+k

1)xk+r

3

xy =

k=0

y=

k=0

Sumando se tiene [4r(r 1) + 1]c0 xr + 1 X [(4(r + k)(r + k...