Nulidad

Cap´ıtulo 3


DISTRIBUCIO´ N BINOMIAL Y DISTRIBUCIO´ N NORMAL




3.1. Introduccio´n

Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad ma´s importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estad´ıstica. La distribucio´n binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas(que so´lo pueden tomar un nu´mero finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza,
1654-1705), qui´en escribi´o el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matema´ticos m´as importantes de la historia. La distribucio´n normal es un ejemplo de lasdistribuciones continuas, y aparece en multitud de fenomenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania, 1777-1855), uno de los m´as famosos matem´aticos de la historia. La gra´fica de la distribucio´n normal en forma de campana se denomina Campana de Gauss.


3.2. La distribucio´n binomial o de Bernoulli

La distribuci´on binomial esta´ asociada a experimentos delsiguiente tipo:
- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos s´olo la posibilidad de ´exito o fracaso.
- La obtenci´on de ´exito o fracaso en cada ocasi fracaso en las dema´s ocasiones.
n es independiente de la obtencio´n de ´exito o
- La probabilidad de obtener ´exito o fracaso siempre es la misma en cada ocasi´on.

Ve´amoslo con un ejemploTiramos un dado 7 veces y contamos el nu´mero de cincos que obtenemos. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener tres cincos?.
Este es un t´ıpico ejemplo de distribucio´n binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cua´l es nuestro ´exito?.
Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.
El fracaso, por tanto, sera´ no sacar 5, sino sacarcualquier otro nu´mero.
Por tanto, E´ xito = E = “sacar un 5” =⇒ p(E )= 6
5
Fracaso = F = “no sacar un 5” = p(F ) =
6
Para calcular la probabilidad que nos piden, fij´emonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y
por lo tanto tenemos 3 ´exitos y 4 fracasos, ¿de cua´ntas maneras pueden darse estasposibilidades?. Podr´ıamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF Pero tambi´en podr´ıamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cua´ntas


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maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 ´exitos. Recordando las t´ecnicas combinatorias, este problema se reduce a calcularlas permutaciones con elementos repetidos:

P 3,4 7!
7 · 6 · 5
7 = 3!
1
=
4! 3 ·
= 35formas
2 · 1
5
Y por tanto, como p(E )=
6
y tengo 3 ´exitos y p(F ) =
6
y tengo 4 fracasos:
1 1 1 5 5 5 5
p(tener 3 ´exitos y 4 fracasos) = 35 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 0·0781
1
Formalizando lo obtenido, enuna variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de ´exito ,
6
la probabilidad de obtener 3 ´exitos es 0’0781, y lo expresar´ıamos:

Bin 7;

1
6 , entonces p(X = 3) = 0·0781

Como repetir este proceso ser´ıa bastante penoso en la mayor´ıa de los casos, lo mejor es recurrir a la siguiente fo´rmula que expresa la probabilidad de obtener cierto nu´mero de ´exitos enuna distribucio´n binomial:

Definici´on de distribucio´n binomial:
Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener ´exito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribucio´n binomial de
para´metros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k ´exitos viene dada...