Numeros Complejos GuiaEstudioComplejos

Reforzar Números Complejos ℂ

I. DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Se define la unidad imaginaria 𝑖 como 𝒊 = √−𝟏

II. RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS
Para todo 𝑎 ∈ 𝑅 + se tiene : √−𝑎 = √(−1) ∙ 𝑎 = √(−1) ∙ √𝑎 = 𝑖 √𝑎

Ejemplos:
a) √−16 = √(−1) ∙ 16 = 𝑖 ∙ √16 = 4 𝑖 b)√−27 = √(−1) ∙ 27 = 𝑖 ∙ √27 = 3𝑖 √3

Ejercicios
1) La expresión √−9 + √−25 equivale a
A) 8
B) -8
C) 8𝑖
D) -8𝑖
E) Ninguna de lasanteriores
𝟑

2) El valor de √−𝟐𝟕 + √−𝟏𝟔 es
A) 3 − 4𝑖
B) −3 + 4𝑖
C) −3 − 4𝑖
D) −3 + 4𝑖
E) −7

3) El valor de √−81 − 2√−49 − 3√−1 + 8𝑖 es
A) 0
B) 𝑖
C) −𝑖
D) 2𝑖
E) 1 + 𝑖

III.

POTENCIAS DE 𝒊
𝑖1 = 𝑖

𝑖 6 = −1

𝑖 11 = −𝑖

𝑖 2 = −1

𝑖 7 = −𝑖

𝑖 12 = 1

𝑖 3 = −𝑖

𝑖8 = 1

𝑖4 = 1

𝑖9 = 𝑖

𝑖5 = 𝑖

𝑖 10 = −1

De lo anterior se concluye que 𝑖 4𝑛+𝑝 = 𝑖 𝑝 , con 𝑝 ∈ 𝑍0+ , 𝑝 < 4

OBS.

a) 𝒊𝟎 = 𝟏
b) La suma decuatro potencias consecutivas de 𝒊 es 𝟎
c) El producto de cuatro potencias consecutivas de 𝒊 es −𝟏

Ejercicios

1.

El valor de 𝑖 73 − 𝑖 45 𝑒𝑠

A) 0
B) 1
C) 𝑖
D) -𝑖
E) -1
2.

El valor de (𝑖 307 + 𝑖 532 )2 es

A)
B)
C)
D)
E)

3.

0
−2𝑖
1+𝑖
1−𝑖
Ninguna de las anteriores

La expresión 𝑖 43 + 𝑖 44 + 𝑖 45 + ⋯ + 𝑖 56 + 𝑖 57 equivale a

A) −1
B) −𝑖
C) 1
D) 𝑖
E) 0

IV NÚMEROS COMPLEJOS
Un número de laforma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se llama número complejo, en donde 𝒂 y 𝒃 son números
reales.

Esta forma de representar al número se le denomina forma binomial o algebraica.
Además

𝒂 : se llama parte real del complejo 𝒛
𝒃 : se llama parte imaginaria del complejo 𝒛

Ejemplo:

en el número complejo z = 2 + 3i se tiene:
2: parte real de 𝑧
3: parte imaginaria de 𝑧

Observación:

En el complejo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊

1. Si sólo 𝒃= 𝟎, entonces 𝒛 = 𝒂 (Complejo Real).
2. Si sólo a = 0, entonces 𝒛 = 𝒃𝒊 (Complejo Imaginario Puro).

Ejercicios
1.
La parte imaginaria del complejo 𝑧 = 5 – 3𝑖 es
A)−3𝑖
B) −5
C) 𝑖
D) 5
E) −3

2.La parte real del complejo 𝑧 = 3𝑖 es
A) 3
B) 3𝑖
C) 0
D) Otro valor
E) No tiene parte real

3.La suma de los cuadrados entre la parte real y la parte imaginaria del complejo 𝑧 = 3 – 𝑖 es
A) 8
B) 9
C) 10
D)11
E) Otro valor

V. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
El complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 puede ser representado en un gráfico de Argand, mediante un vector.
Ejemplo: La representación, en el gráfico de Argand, del complejo 𝑧 = 3 + 2𝑖 es
EJE IMAGINARIO
3
2
1
1

-1
-2

EJE REAL

2 3

Ejercicios

1.El complejo 𝑢 = −2 + 𝑖 está representado por
A)

B)

2

𝑢

1
-2

D)

-1
-1

1

-2

𝑢

𝑢

E)

2

-1
-1
-2

2.
A)-1
-1

2

𝑢

1
1

-2

2

-1
-1

1

2

1

2

-2

-2

1
-2

2

1

-2

2

C)

2

𝑢

1
1

2

-2

-1
-1

1

2

-2

El gráfico siguiente muestra la representación del complejo.

3
2

−3𝑖

1

B)

1 + 3𝑖

C)

3𝑖

D)

−1 − 3𝑖

E)

1 − 3𝑖

-3

-2

-1
-1
-2
-3

3

VI. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces (𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒄 + 𝒅𝒊) ⇔ (𝒂 = 𝒄) 𝒚 (𝒃 = 𝒅)
Dos complejos son iguales cuandoson iguales sus partes reales y también sus partes imaginarias.

Ejercicios

1.

El valor de 𝑥 en la igualdad 𝑥 + 5𝑖 = 3 + ( 𝑥 + 2)𝑖 es

A)
B)
C)
D)
E)

0
1
2
3
4

2.
Para que se cumpla la igualdad −3𝑥 + 7𝑖 = 6 + (5𝑦 + 2)𝑖, los valores de 𝑥 e 𝑦 deben
ser respectivamente
A)

−2 𝑦 1

B)

−2 𝑦

C)
D)
E)

−2 𝑦 − 1
2𝑦 −1
2𝑦1

9
5

3.
Los valores de 𝑥 e 𝑦 en la igualdad 2𝑥 + 𝑦 – 2𝑖 = 1 – (3𝑥 + 𝑦)𝑖 sonrespectivamente
iguales
A)
−1 𝑦 1
B)
1𝑦 −1
C) −1 𝑦 − 3
D) 1 𝑦 − 3
E)
1𝑦2

VII.

CONJUGADO DE UN COMPLEJO

̅ = 𝒂 − 𝒃𝒊
Si 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, entonces el conjugado de 𝒛 es 𝒛̅ tal que 𝒛

Ejemplo: Si 𝑧 = −2 + 3𝑖, entonces 𝑧̅ = −2 − 3𝑖 y su representación gráfica es
3
2
1
-3

-2

-1
-1

1

2

3

-2
-3

̿ = 𝒛)
OBS: El conjugado del conjugado de un complejo es el mismo complejo (𝒛

Ejercicios

1.

El conjugado delcomplejo 2 + 5𝑖 es

A)
B)
C)
D)
E)

−2 + 5𝑖
2 − 5𝑖
−2 – 5𝑖
2 + 5𝑖
5 − 2𝑖

2.

El conjugado del conjugado del complejo, 𝑧 = −3 − 6𝑖 es

A)
B)
C)
D)
E)

− 3 − 6𝑖
3 + 6𝑖
−3 + 6𝑖
3 – 6𝑖
6 + 3𝑖

3.

el conjugado del complejo z representado en la figura es

A)

−2 + 𝑖

B)

−2 – 𝑖

C)

2 + 𝑖

D)

2– 𝑖

E)

1 + 2𝑖

2
z

1
-2

-1
-1
-2

1

2

VIII. MÓDULO DE UN COMPLEJO
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces el...