numeros complejos

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
a

1

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1. CONJUNTOS DE NUMEROS
´
1.2. NUMEROS COMPLEJOS
1.2.1. Definici´n
o
Se llama n´ mero complejo a cualquier expresi´n de la forma z = x + yi donde x e y son n´meros reales
u
o
u
√
cualesquiera e i = −1 se llama unidad imaginaria. El conjunto de todos los n´meros complejos se
u
representa por:
C = {z = x+ yi : x, y ∈ R}
En la expresi´n z = x + yi, llamada forma bin´mica del complejo z, los n´meros reales x e y se llaman,
o
o
u
respectivamente, parte real y parte imaginaria de z, y se representan por:
Re(z) = x
Im(z) = y

z = x + yi =⇒

Dos n´meros complejos son iguales s´ y s´lo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias:
u
ı
o
z = w ⇐⇒ Re(z) = Re(w) y

Im(z) =Im(w)

1.2.2. Observaciones
• Cuando la parte imaginaria es cero, el n´mero complejo x+0i = x es un n´mero real y, como conseu
u
cuencia, el conjunto de los n´meros reales est´ contenido en el conjunto de los n´meros complejos:
u
a
u
R ⊂ C.
u
• Cuando la parte real es cero, el n´mero complejo 0 + yi = yi se llama imaginario puro.
• En el conjunto de los n´meros complejos existen las ra´cuadradas de los n´meros negativos, por
u
ıces
u
ejemplo
√ √
√
−16 = 16(−1) = 16 −1 = 4i
√
√
y, en general, −b = bi para todo b ≥ 0.
• Como consecuencia de lo anterior, en el conjunto de los n´meros complejos todas las ecuaciones de
u
segundo grado tienen soluci´n.
o

1.2.3. El plano complejo
Los n´meros complejos tambi´n se pueden expresar como un par ordenado de n´meros:
u
e
uz = x + yi = (x, y)
Esta expresi´n del n´mero complejo, llamada forma cartesiana, permite identificar el conjunto de los
o
u
n´meros complejos con el plano R2 . Al plano cartesiano en el que se representan gr´ficamente los n´meros
u
a
u
complejos, se llama plano complejo.
eje imaginario
y

O

Q
 (x, y)





z = x + yi



x

eje real

El n´mero complejo z = x +yi se representa en el plano complejo por el vector que va del origen al
u
punto (x, y), que se llama afijo del n´mero complejo.
u

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Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
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2

1.2.4. Operaciones elementales en forma bin´mica
o
Dados dos n´meros complejos, z1 = x1 + y1 i y z2 = x2 + y2 i, su suma o diferencia es:
u
z1 ± z2 = (x1 + y1 i) ± (x2 + y2 i) =(x1 ± x2 ) + (y1 ± y2 )i
y, teniendo en cuenta que i2 = −1, su producto es:
z1 z2 = (x1 + y1 i)(x2 + y2 i) = x1 x2 + x1 y2 i + y1 x2 i + y1 y2 i2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + y1 x2 )i
Para obtener el cociente se multiplican numerador y denominador (no nulo) por la expresi´n conjugada
o
del denominador:
z1
x1 + y1 i
x1 x2 + y1 y2 y1 x2 − x1 y2
(x1 + y1 i)(x2 − y2 i)
(x1 x2 + y1 y2 ) +(y1 x2 − x1 y2 )i
=
=
=
=
+
i
2 − y 2 i2
2
2
z2
x2 + y2 i
(x2 + y2 i)(x2 − y2 i)
x2
x2 + y2
x2 + y2
2
2
2
En particular, el inverso del n´mero complejo z = x + yi = 0 es:
u
1
x
y
1
x − yi
x − yi
= 2
− 2
i
=
=
= 2
2
2
z
x + yi
(x + yi)(x − yi)
x +y
x +y
x + y2
Teniendo en cuenta que:
i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = i2 i = −i

la potencia n de i coincidecon la potencia de exponente igual al resto de la divisi´n de n por 4:
o
in = i4c+r = i4

c r

i = 1 c ir = ir

con r = 0, 1, 2, 3

Para hallar potencias (de exponente natural) se utiliza el binomio de Newton:
n
n

n n−k
x
(yi)k =
k

n

z = (x + yi) =
k=0

n
k=0

n n−k k k
x
y i
k

sustituyendo ahora cada potencia de i por su valor y sumando.
Estas operaciones enel conjunto de los n´meros complejos tienen las mismas propiedades que en el
u
conjunto de los n´meros reales.
u

1.2.5. Ejemplos
Calcula:
(a) (2 − 3i)(1 + 2i) − (2 − i)2

(b)

(2 − 3i)i
(1 + 2i)(3 + i)

(c) i3215

(d) (1 − 2i)5

1.2.6. Complejo conjugado
Se llama complejo conjugado de z = x + yi al n´mero complejo z = x − yi. Obviamente, de la propia
u
definici´n, se tiene...