numeros complejos

Números complejos

Definición. Un número complejo z es una pareja ordenada (x, y) de números reales que se escribe como:
z = (x, y)

a x se le llama parte real de z y a y parte imaginaria de z y se escribe

Re(z) = x , Im(z) = y

Las dos funciones anteriores siempre deben indicar entre paréntesis su argumento.

Ejemplo 1. z1 = (-1, 2), es un número complejo, sus partes reale imaginaria son:
Re(z1) = -1 e Im(z1) = 2.

Indique las partes real e imaginaria de los siguientes números complejos:

a. z1 = (1, 3) b. z2 = (1, 0) c. z3 = (0, 1) d. z4 = (0, 5)

Con C se denota el conjunto de números complejos y se define como
C = {z =(x, y) x, y  R}.

En particular, los complejos de la forma (x, 0), que forman unsubconjunto de C, constituye el conjunto de los números reales (R); así, R  C.

Si un complejo es de la forma (x, 0) lo escribiremos como x.

El número complejo (0,1) será denotado por j = (0,1). En este caso Re(j) = 0 e Im(j) = 1.
j es llamado unidad imaginaria.

El complejo z = (0, 0) es el cero de los complejos.

Igualdad de números complejos

Sean z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2).Se dice que z1 y z2 son iguales  (si y solo si) x1 = x2 y y1 = y2.;


Plano complejo

El plano complejo es una representación geométrica de los números complejos. Se eligen dos ejes perpendiculares de coordenadas, al eje horizontal x se le da el nombre de eje real y la eje y, eje imaginario. Este es un sistema de coordenadas cartesianas.

Dado un complejo z =(x, y) le asociamos unpunto en el plano de la siguiente forma: la parte Re(z) = x se medirá a lo largo del eje real y la parte Im(z) = y a lo largo del eje imaginario. El punto de intersección, que resulta de trazar rectas paralelas a los ejes en los puntos antes marcados, es el que se asocia al complejo z = (x, y).




Al plano xy en el que se representan los números complejos de la manera anterior se le llamaplano complejo o diagrama de Argand

Note que a los números complejos de la forma (x, 0) siempre se les asociará un punto sobre el eje real; de manera que se confirma que los números reales son un subconjunto de los números complejos.

Ejemplo 2. Localice los siguientes complejos en el plano complejo.

a. z1 = (1, 3) b. z2 = (1, 0) c. z3 = (0, 1) d. z4 = (0, 5)

e. z5 = (-2, 4) f.z6 = (-1, -3) g. z7 = (0, -3) h. z8 = (3, -4)


Operaciones aritméticas con los números complejos

Si z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), entonces definimos

Suma: z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

La suma de dos complejos es otro complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.

Producto: z1z2 = (x1,y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1)

El producto de dos complejos da otro complejo; sus partes real e imaginaria están dadas por las fórmulas que se indican.

Ejemplo 3. Sean z1 = (2, -1), z2 = (-2, 1). Calcule cada una de las operaciones antes mencionadas e indique el valor de las partes real e imaginaria de cada resultado.

Una propiedad importante de la unidad imaginaria j,es que j2 = j j = (0,1)(0,1) = -1

Las operaciones entre números complejos se realizarán de manera más sencilla (no necesitará las fórmulas que las definen), con los elementos que se verán en la siguiente sección.

Expresión de un complejo en términos de la unidad imaginaria “j”

Sea “y” un número real, entonces “y” se puede escribir como y = (y, 0). Utilizando la definición de productoentre complejos se tiene que

j y = (0, 1)(y, 0) = (0, y)

Ahora bien si z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0,1)(y,0) = x + j y. La notación z = x + jy, es la que se utiliza con mayor frecuencia y es la que usaremos en lo sucesivo.

Si z se expresa en términos de la unidad imaginaria (z = x + jy), entonces la parte real de z, Re(z) es lo que NO está multiplicado por “j”;...