Numeros complejos

´ Algebra. 2004-2005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matem´tica Aplicada II. Universidad de Sevilla. a

Tema 3.- N´ meros Complejos. u
Los n´ meros complejos. u Operaciones. Las ra´ ıces de un polinomio real. Aplicaciones geom´tricas de los n´ meros complejos: transformaciones en el plano. e u Hist´ricamente los n´meros complejos fueron introducidos para tratar ecuacionespolinomiales, tales como o u x2 + 1 = 0, que no tienen soluci´n real. En esta direcci´n, el resultado principal de esta lecci´n es el teorema o o o ´ fundamental del Algebra que asegura que toda ecuaci´n polinomial con coeficientes complejos tiene, al menos, o una soluci´n. o Previamente habremos definido el n´mero complejo, sus operaciones m´s importantes y la interpretaci´n u a o geom´trica de las mismas,cuyo manejo nos permite describir transformaciones sobre el plano complejo. e

1.

Los n´ meros complejos. u

Definici´n. Un n´mero complejo es un n´mero de la forma z = a + bi (o z = a + ib) donde i verifica que o u u i2 = −1 y a y b son n´meros reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los n´meros reales a y b se conocen, u u respectivamente, como parte real y parte imaginaria del n´merocomplejo z y se suele escribir u Re (z) = a as´ como ı Dos n´meros complejos z y w son iguales si, y s´lo si, u o Re (z) = Re (w) y Im (z) = Im (w) . Im (z) = b.

Al conjunto de los n´meros complejos lo denotaremos por C, es decir, u C = {z = a + bi : a, b ∈ R} . Sea z = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemente a para denotar a z, si a = 0 escribiremos bi para denotar a z. En este ultimo casodiremos que z es un n´mero imaginario puro. En lo que sigue identificaremos el n´mero ´ u u real a con el n´mero complejo a + 0i. De esta forma se puede entender que el conjunto de los n´meros reales es u u un subconjunto de los n´meros complejos. u

2.
2.1.

Operaciones.
Suma
Dados dos n´meros complejos z = a + bi y w = c + di definimos la suma z + w as´ u ı: z + w = (a + c) + (b + d) i.Propiedades de la suma. Si z, w, v ∈ C se verifica: 1. Conmutativa: z + w = w + z. 2. Asociativa: (z + w) + v = z + (w + v). 3. Existe un elemento nulo para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que z + 0 = 0 + z = z para todo z ∈ C. 4. Cada n´mero complejo z = a + bi tiene un elemento opuesto −z = −a + (−b) i tal que z + (−z) = 0. u 1

2.2.

Producto

Dados dos n´meros complejos z = a + bi y w = c + di sedefine el producto zw as´ u ı: zw = (ac − bd) + (ad + bc) i. Propiedades del producto. Si z, w, v ∈ C se verifica: 1. Conmutativa: zw = wz. 2. Asociativa: (zw) v = z (wv). 3. Existe un elemento unidad para el producto, el 1 = 1 + 0i tal que z1 = 1z = z para todo z ∈ C. 4. Cada n´mero complejo z = a + bi = 0 tiene un elemento inverso z −1 tal que zz −1 = z −1 z = 1. De hecho, u si z = a + bi = 0 setiene que a −b z −1 = 2 + 2 i. a + b2 a + b2 Tambi´n se verifica una propiedad que relaciona la suma y el producto: la propiedad distributiva del producto e respecto de la suma z (w + v) = zw + zv. El inverso de z lo representaremos por z −1 y por 1/z y w = w (1/z) = wz −1 . z Para obtener la parte real y la imaginaria en una divisi´n de n´meros complejos podemos hacer lo siguiente. o u Si z = a +bi = 0 y w = c + di w c + di −1 = = (c + di) (a + bi) = (c + di) z a + bi −b a + 2 i a2 + b 2 a + b2 = (c + di) (a − bi) . a2 + b 2

De cualquier modo, tras estudiar la conjugaci´n y el m´dulo veremos otra t´cnica m´s eficiente para calcular el o o e a inverso de un n´mero complejo o dividir n´meros complejos. u u Observaci´n. No es posible establecer en el conjunto de los n´meros complejos unarelaci´n de orden que o u o verifique las mismas propiedades que verifica la relaci´n de orden que conocemos entre los n´meros reales. o u

2.3.

Conjugado de un n´mero complejo u

u Sea z = a + bi un n´mero complejo. Se define el conjugado de z y se representa por z como el n´mero a − bi. u Propiedades del conjugado de un n´ mero complejo. u z1 + z2 = z1 + z2 . (En general: z1 + z2 + · · · +...