Numeros complejos

Tema 1. N´meros Complejos u
Prof. William La Cruz Bastidas 27 de septiembre de 2002

Cap´ ıtulo 1

N´meros Complejos u
Definici´n 1.1 Un n´mero complejo, z, es un n´mero que se expresa como z = x + iy o, de o u u manera equivalente, z = x+yi, donde x ∈ e y ∈ . Se conoce a i como la unidad imaginaria, adem´s, i2 = −1. a Se denotar´ con x = Re z la parte real del n´mero z y con y = Im z laparte imaginaria de a u z. Los n´meros complejos de la forma z = x + i0 se denominan reales puros o, simplemente, u reales; y los n´meros complejos de la forma z = 0 + iy se denominan imaginarios puros. u o Decimos que dos n´meros complejos son iguales si y s´lo si sus partes reales son iguales y sus u partes imaginarias son iguales. En otras palabras, si z = a + ib, y z = w, entonces a = c, b = d.u No existe relaci´n de orden en los n´meros complejos; de lo contrario, las conocidas o relaciones de orden que se usan en el caso de los n´meros reales no son v´lidas. Usando n´meros u a u reales podemos decir, por ejemplo, que 5 > 3; pero no tiene sentido afirmar que 1 + i < 2 + 3i. w = c + id,

1.1

Operaciones algebraicas

Podemos sumar,restar, multiplicar y dividir n´meros complejosobteniendo como resultado otro u n´mero complejo. Sean z1 = a + ib y z2 = c + id n´meros complejos. u u La suma de los n´meros complejos z1 y z2 se define como: u z1 + z2 = (a + c) + i(b + d). La resta de los n´meros complejos z1 y z2 se define como: u z1 − z2 = (a − c) + i(b − d). La multiplicaci´n de los n´meros complejos z1 y z2 se define como: o u z1 · z2 = (ac − bd) + i(ad + bc). 1

´ CAP´ ITULO1. NUMEROS COMPLEJOS La divisi´n de los n´meros complejos z1 y z2 = 0 se define como: o u z1 = z2 ac + bd c2 + d2 +i bc − ad c2 + d2 .

2

1.2

Representaci´n geom´trica o e

Se puede establecer una correspondencia uno a uno entre cada n´mero complejo z = x + iy y el u punto (x, y) del plano cartesiano xy. De esta forma, cada n´mero complejo se puede representar u geom´tricamente como unpunto en el plano cartesiano. Cada vez que utilicemos el plano para e representar un n´mero complejo lo denominaremos plano complejo o plano z. En estas ciru cunstancias, el eje x, o eje horizontal, se llama eje de los n´ meros reales, mientras que el eje u y, o eje vertical, se conoce como eje de los n´meros imaginarios. u Otra representaci´n posible de z en este plano es en forma de vector.Mostramos a z = x + iy o como una l´ ınea dirigida que comienza en el origen del plano y termina en el punto (x, y). As´ ı, podemos representar un n´mero complejo como un punto o como un vector en el plano xy. u

1.3

Valos absoluto y conjugado

Definici´n 1.2 Se define el valor absoluto del n´mero complejo z = x + iy, denotado por |z|, o u como |z| = x2 + y 2 . Definici´n 1.3 Se define el conjugadodel n´mero complejo z = x + iy, denotado por z, como o u z = x − iy.

1.3.1

Propiedades de la conjugaci´n o

Sean z1 y z2 n´meros complejos. La siguientes identidas son ciertas. u 1. z1 = z1 . 2. z1 + z2 = z1 + z2 . 3. z1 − z2 = z1 − z2 . 4. z1 z2 = (z1 ) (z2 ). 5. z1 z2 = (z1 ) . (z2 )

6. |z1 | = |z1 |. La siguiente proposici´n establece una relaci´n entre el m´dulo y el conjugado de unn´mero o o o u complejo. Proposici´n 1.1 Si z = x + iy, entonces o zz = |z|2 .

´ CAP´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS Demostraci´n. Se tiene que o zz = (x + iy)(x − iy) = (x2 + y 2 ) + i(yx − xy) = x2 + y 2 = |z|2 .

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2

1.3.2

Propiedades del valor absoluto

Sean z1 y z2 n´meros complejos. Las siguientes identidas son ciertas. u 1. |z| ≥ |Re z| ≥ Re z. 2. |z| ≥ |Im z| ≥ Im z. 3. |z1z2 | = |z1 | |z2 |. 4. z1 |z1 | , z2 = 0. = z2 |z2 |

1.3.3

Desigualdad Triangular

El proceso de sumar el n´mero complejo z1 = x1 + iy1 al n´mero complejo z2 = x2 + iy2 tiene una u u interpretaci´n simple en t´rminos vectoriales. El vector que representa la suma de los n´meros o e u complejos z1 y z2 se obtiene sumando vectorialmente los vectores de z1 y z2 ; es decir, empleando la regla...