Numeros Complejos

LOS NÚMEROS COMPLEJOS
por Jorge José Osés Recio
Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - 2004
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax 2  bx  c  0 se analizó el signo del
discriminante b 2  4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la
ecuación no tenía raíces reales sino que las raíceseran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar
los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y
una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del
conjunto de los números complejos.

Sección 1
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamosconjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra £ al conjunto de
los pares de números reales  a, b  en el cual definimos las siguientes operaciones:
Suma.  a, b    c, d    a  c, b  d 

Multiplicación.  a, b   c, d    ac  bd , ad  bc 
En el número complejo  a, b  llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la
suma y producto de pares no estádefinida en ¡ 2 .
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad.

 a, b    c , d   a  c

 bd

Multiplicación por un escalar. (a, b)  ( a,  b) donde   ¡ .
Ejemplo. Dados  2,1 y  0, 3 , hallar:

a)  2,1   0, 3   2  0,1  (3)    2,  2 

b)  2, 1  0,  3   2(0)  1(3), 2(3)  1(0)   3,  6 
c)  2,1  0, 3  2  1,1   3,  6    2,  2    5,  8 

1

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los
mismos mediante el plano ¡ 2 (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x
y eje imaginario (Im) al eje de las y .

Gráfica 1: Representación del número complejo (a, b) .Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el
plano ¡ 2 el número complejo  a, 0  coincide con el número real a . De este modo tenemos a  (a, 0)
cuando a  ¡ . Los números complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros.
Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar   ¡ :
  a, b     a,  b 
Para esoescribimos el número real  en la forma  , 0  y aplicamos la definición de multiplicación:
  a, b    , 0   a, b     a  0b ,  b  0a     a,  b  .
Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil
demostrar que i 2  1 .
i 2  (0,1)2  (0,1) (0,1)   0(0)  1(1) , 0(1)  1(0)   (1, 0)  1
Ahora estamos en condiciones deresolver la sencilla ecuación x 2  1  0 .
x 2  1  0  x 2  1  x 2  i 2  x   i

Forma binómica de un número complejo
Sea z  (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:
z  (a , b)  (a, 0)  (0, b)  a (1, 0)  b (0,1)
Pero como (1,0)  1 y (0,1)  i , entonces (a, b)  a  bi . En este caso a  bi se llama forma binómica o
binomia del número complejo.2

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
 a  bi    c  di    a  c    b  d  i , puesto que a, b, c, d son todos números reales.
 a  bi   c  di   ac  adi  bci  bdi 2   ac  bd    ad  bc  i porque i 2  1 .
Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio;
por lo que larealización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede
realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se
trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.
Ejemplo. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z 2 y z1 z2 .
z1  z2  (3, 2)  (4, 1)   3  2i    4  i   7  i
z1 z2 ...