numeros complejos

ALGEBRA LINEAL
OBJETIVO GENERAL:

EL ALUMNO ANALIZARÁ Y ADQUIRIRÁ LOS CONOCIMEINTOS DEL
ÁÑGEBRA LINEAL Y LOS PALICARÁ COMO UNA HERRAMIENTA PARA LA
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS PRÁCTICO DEL ÁREA DE INGENOERÍA.

TEMAS Y SUBTEMAS

1. NÚMERO COMPLEJOS

OBJETIVO PARICULAR:

El alumno conocerá los fundamentos conceptuales de los números complejos

1.1. DEFINICIÓN Y ORIGEN Y OPRACIONESFUNDAMENTALES CON
NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo es un número escrito de la forma

z=a + bi

donde a y b

son números reales e i es el símbolo formal que satisface la relación i2 = -1. Se
considera que un número real es un tipo especial de número complejo,
identificándose a con a + 0i . Más aún las operaciones aritméticas con
números reales pueden extenderse al conjunto de númerosreales.

Interpretación geométrica
Eje
Imaginario

z=a+bi

b

El conjugado complejo es una
imagen reflejada
Eje Real
a

z=a-bi

Operaciones fundamentales con números complejos

Suma y multiplicación de números complejos.
(a + bi ) + (c + di ) = ( a + b) + ( b + d) i.................(1)
(a + bi ) (c + di ) = ( ac + bd) + ( ad + bc) i.............(2)

Estas reglas se reducen a lasuma y multiplicación comunes de números reales
cuando b y d son ceros en (1) y (2).
La resta de números complejos se define como.
Z1 + z2 = z1 + (-1) z2

El conjugado de z = a + bi es un número complejo z ( zeta testada) obtenemos
z cambiando el signo de la parte imaginaria
z = a – bi

1.2 Potencias de “i” modulo ó Valor absoluto de un número complejo
Potencias de la Unidad Imaginaria:Valor absoluto

z = zz = a 2 + b 2

1.3. forma polar y exponencial de un número complejo
Forma Polar
Sea

wz = w z [cos(ϑ + ϕ ) + isen(ϑ + ϕ )]

Im z

w

ϑ −ϕ

wz

.

z

z

ϑ
.

.

ϕ

Figura 1.1
Re z

El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma
polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. Elcociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente
de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

Forma exponencial

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonometrica
en vez de con la forma binomica:

Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra experesarse de las
sigueientes maneras:
z = x + iy = ρ (COSθ+ i ⋅ senθ ) = ρ • e iθ
Forma
binomica

Forma
trigonometrica

Forma
exponencial

 x = ρ ⋅ cos θ
Donde 
 y = ρ ⋅ senθ
Y ρ = z = x2 + y2 →

(ρ cos θ )2 + (ρsenθ )2

(

)

= ρ 2 cos 2 θ + sen 2θ = ρ
14442444
3
cos θ + sen θ =1
2

Y tan θ =

2

y
x

1.4. Teorema DeMoivre , potencias y extracción de raíces de un
número complejo.
Teorema de DeMoivre y PotenciasDe la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejo
Donde la formula se usa cuando z = w = r (cos

ϕ + isen ϕ ) en este caso

z 2 = r 2 (cos 2ϕ + isenϕ ) , y
z3 = z ⋅ z2
= r (cos ϕ + isenϕ ) ⋅ r 2 (cos 2ϕ + isen 2ϕ )

= r 3 (cos 3ϕ + isen3ϕ )
En general, para cualquier entero positivo k.
z k = r k (cos kϕ + isenkϕ )

a esto se le conoce como Teorema deDeMoivre aplicable así mismo a las
potencias de números complejos

Raíces de un número complejo

Dado un número complejo que se define tal que
. Utilizando esta
notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que
también tenemos
, así que (−i) es también una raíz cuadrada
de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada
principal de −1 es i, o, engeneral, si x es cualquier número real positivo, entonces
en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario.
Eso es debido a que
, por lo que entonces:

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la
igualdad

Por los argumentos dados, i no puede ser ni...