Numeros Complejos

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
U. E. P. Manuel Montaner
Matemática















Profesora: Yaritza Hernandez Alumna: Yarivic Calderon #12




Caracas, 27 de Enero del 2015
Índice
























Introducción
Podemos pensar en las progresivasampliaciones de los conjuntos numéricos como el método necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Así, el paso de N a Z se justificaría por la necesidad de dar solución a una ecuación como
x + 5 = 0
Y el paso de Z a Q por la necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma
5x = 1.
El paso de Q a R es más complicado de explicar en este momento, puesto que es mástopológico que algebraico, pero permite además dar solución a ecuaciones como
x 2 − 2 = 0.
El paso de R a C viene motivado históricamente por la necesidad de trabajar con las soluciones de ecuaciones como
x 2 + 1 = 0
Es decir, con raíces cuadradas de números negativos. Inicialmente, se trabajaba con dichas raíces, llamadas números imaginarios por Descartes, como paso intermedio hasta llegara un número real (típicamente elevando el número imaginario al cuadrado en algún momento de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la noción de número complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en “miembros de pleno derecho” de las familias numéricas.







Números Complejos
Los números complejos son una extensión de los númerosreales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerradoque los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo  el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de launidadimaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos dela física(notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
La manera más sencilla de trabajar con los números complejos es dar un nombre abreviado a √ −1. A esta cantidad la llamaremos i. Hecho eso, y suponiendo inicialmente que esta cantidad “se portarábien”, ya podemos realizar cálculos como √ −25 = p (−1)(25) = √ −1 √ 25 = 5i. Necesitaríamos poder sumar y multiplicar estos nuevos números. Está claro que si b, c ∈ R, se debiera tener bi + ci = (b + c)i. Por otro lado, para a, b ∈ R no podremos simplificar la expresión a + bi. Veamos el producto. En primer lugar está claro que si hemos definido i como √ −1, entonces i 2 = −1. Por otro lado, sivamos a tener un producto asociativo, conmutativo y distributivo respecto de la suma, se deberá tener (a + bi)(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = ac − bd + (ad + bc)i. Con esto ya sabríamos sumar y multiplicar complejos.
Formalizacion
Como siempre en matemáticas, estas ideas intuitivas se pueden (y se deben) formalizar. Una de las formalizaciones más habituales es pensar en los complejos comopares (a, b) ∈ R × R con una suma y un producto definidos por:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Es un ejercicio sencillo comprobar que la suma es conmutativa, asociativa, que existe un elemento neutro (el (0, 0)) y que todo elemento tiene simétrico. Igualmente fácil es comprobar que el producto es conmutativo, asociativo, que existe un elemento neutro (el (1,...