numeros complejos

2 – Matem´aticas 1 : Preliminares

Cap´ıtulo 1

N´
umeros Complejos
Este tema de n´
umeros complejos es m´
as informativo que recordatorio, siendo el uso expl´ıcito de los complejos
escaso en las asignaturas de Matem´
aticas 1 y 2. Sin embargo conocer su existencia e interrelaci´on con los
reales es muy u
´til para la descomposici´
on y busqueda de ra´ıces de polinomios, o en laresoluci´on de ecuaciones
diferenciales; tambi´en en asignaturas de electricidad, teor´ıa de la se˜
nal, etc. usan de ellos.

1.1

Los n´
umeros complejos

Conocemos y manejamos ya diversos conjuntos de n´
umeros, los naturales N = {0, 1, 2, 3, . . .} , los enteros
n
: n ∈ Z, m ∈ Z−{0}} y los n´
umeros reales R (o decimales
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} , los racionales Q = { mque completan los “huecos” entre los racionales con los irracionales R = Q ∪ I ). Cumpliendo N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R .
Nota: Un n´
umero real puede describirse en la forma e.d1 d2 d3 . . . dn . . . , un n´
umero entero seguido de infinitos
decimales. Si, a partir de uno de ellos, todos los decimales son cero ´o los decimales se repiten peri´odicamente el
n´
umero es racional (as´ı,

1
3

= 0. 3 =0.33333 . . . , luego 1 = 0. 9 = 0.99999 . . . ).

Tenemos definidas unas operaciones de suma y producto en cada conjunto que son “internas” (suma o
producto de naturales es natural, suma o producto de enteros es entero, etc.) y coherentes con la cadena de
contenciones (si sumamos dos enteros como racionales o reales, el resultado es el mismo que si los sumamos
como enteros). A efectos pr´acticos, son las mismas operaciones para todos los conjuntos.
Sin embargo, no tienen en cada conjunto las mismas propiedades: en N ni para la suma ni para el producto
existe inverso (ni la resta ni la divisi´
on de naturales es, en general, un natural), en Z existe el inverso para
la suma pero no para el producto (la resta de enteros es entera pero no la divisi´on) y tanto en Q como en Rpodemos restar y tambi´en dividir por valores distintos de cero.
La otra operaci´
on o manipulaci´
on b´
asica entre n´
umeros, la potencia (una generalizaci´
on del producto) nos
√
1
distingue m´
as estos dos u
´ltimos conjuntos. As´ı 2 ∈ Q (luego a R), pero 2 2 = 2 ∈
/ Q, aunque s´ı se cumple
1
que 2 2 ∈ R .
En R , es cierto que si x e y son reales con x ≥ 0 , entonces xy ∈ R; pero nose cumple cuando x < 0 .
Para resolver este “defecto” se contruyen los n´
umeros complejos: un conjunto C que contenga a R , que sus
operaciones suma y producto permitan restar y dividir y sean coherentes con las operaciones de los subconjuntos,
y que para la potencia se verifique adem´
as que si z, w ∈ C, entonces z w ∈ C .

1.2

El plano complejo

Consideremos el conjunto R2 ycontruyamos en ´el unas operaciones suma y producto que funcionen como
deseamos. Sobre R2 tenemos definida una operaci´on suma que s´ı es interna:
(a1 , b1 ) ∈ R2 , (a2 , b2 ) ∈ R2 , y (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) ∈ R2 ,
con operaci´
on inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,
(a1 , b1 ) ∈ R2 , (a2 , b2 ) ∈ R2 , y (a1 , b1 ) · (a2 ,b2 ) = a1 a2 + b1 b2 ∈ R
y no admite una operaci´
on inversa.
Dotar a R2 de una operaci´
on “producto” interna, con un funcionamiento an´alogo al funcionamiento del
producto en R crea una nueva estructura conocida como el conjunto de los n´
umeros complejos y tambi´en
como plano complejo o cuerpo complejo.
Esta operaci´
on producto “ ∗” se define de la forma siguiente:
(a1 , b1 ) ∗ (a2 ,b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ).
As´ı, el conjunto de los n´
umeros complejos, C , est´a formado por R2 con dos operaciones b´asicas: suma “+”
2
(la suma de R ) y el producto complejo “ ∗ ” (definido arriba). Es decir, C = (R2 , +, ∗) .

Prof: Jos´
e Antonio Abia Vian

Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013

3 – Matem´aticas 1 : Preliminares

1.2.1

1.2 El plano...