Numeros Complejos

Álgebra de los Números Complejos

1. Definición de número complejo
Un número complejo es una expresión del tipo z = a+bi donde a y b son números reales e i = − 1 y que, por tanto, verifica que i2 = -1. Al conjunto de los números complejos lo representaremos con C. Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a yb respectivamente. Así pues, tenemos Re(z) = a e Im(z) = b. Ejemplo1: imaginaria -4. El número complejo z= 3 – 4i tiene de parte real 3 y de parte

Ejemplo2: El número z = 8 es un número complejo de parte real 8 y parte imaginaria 0. Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Números Reales (R) forman parte del conjunto de los NúmerosComplejos. Ejemplo 3: z = 12i es un número complejo de parte reeal 0 y parte imaginaria 12. Cuando un número complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro. ¿Cuando dos números complejos son iguales?. Dos números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales si y solo sí a = c y b = d. En otras palabras, dos números complejos son iguales cuando suscomponentes respectivas, reales e imaginarias, son iguales.

2. Representación geométrica
Así como los números reales se representan geométricamente por medio de una recta, es posible dar una representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas. En un sistema de tales coordenadas, se tiene un par de ejes que se cortan perpendicularmente en un punto llamado elorigen. El eje en posición horizontal se llama eje x y el eje en posición vertical, llamado eje y. Si P es un punto cualquiera, entonces le asociamos las coordenadas x e y, donde x, llamada la abscisa, es la distancia desde el punto hasta el eje y e y, llamado la ordenada, es la distancia desde el punto hasta el eje x. De esta manera, denotamos al punto por P(x, y). Haremos ahora una identificaciónentre los números complejos y los puntos del plano. A cada número complejo z = a+bi, se le asocia el punto del plano, P(a, b). De esta forma, se obtiene una representación geométrica

Fig: Representación geométrica de un número complejo. 1

Álgebra de los Números Complejos En esta representación, la componente real de z se copia sobre el eje x, que será llamado eje real y la componenteimaginaria sobre el eje y, que será llamado eje imaginario. El conjunto de todos estos puntos, será llamado Plano Complejo. Ejemplo: El complejo z = 4 + 5i se puede representar en el plano complejo, para lo cual ubicamos primero al punto de coordenadas (4, 5). Una vez hecho esto se tendrá la representación de z, como podemos ver en la figura siguiente:

Fig: Representación geométrica del complejo z =4 + 5i. Ejemplo: El complejo w = -6+2i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (-6,2) sobre el plano. En este caso el complejo estará ubicado en el segundo cuadrante.

Fig: Representación geométrica del complejo z =-6 + 2i. Ejemplo: El complejo z = -2 + 3i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (-2,-3) sobre el plano. En este caso el complejo estará ubicadoen el tercer cuadrante.

Fig: Representación geométrica del complejo z = -2 -3i.. Ejemplo: El complejo w = 2 - 4i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (2, -4) sobre el plano. En este caso el complejo estará en el cuarto cuadrante. 2

Álgebra de los Números Complejos

Fig: Representación geométrica del complejo z = 2 -4i.

3. Suma de números complejos
La operaciónsuma de números complejos esta basada en la suma de números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. Más precisamente: Sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i dos números complejos....