Numeros Complejos

Ejercicios de Análisis Matemático Números complejos
z donde z 2 C n fi; i g. 1 C z2 Solución. Todo lo que hay que hacer es realizar las operaciones indicadas. Pongamos para ello z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que z x iy x iy .x iy/.1 C x 2 y 2 2xyi / D D D D 1 C z2 1 C .x C iy/2 1 C x 2 y 2 C 2xyi .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2 D

1. Calcula la parte real e imaginaria de

x C x 3 3xy 2 C i . y3x 2 y C y 3 / D .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2 x C x 3 3xy 2 y 3x 2 y C y 3 Ci D .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2 .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2

Luego z Re 1 C z2     x C x 3 3xy 2 y 3x 2 y C y 3 z D ; Im D .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2 1 C z2 .1 C x 2 y 2 /2 C 4x 2 y 2

ˇ ˇ ˇ .2 C i p5/.1 C i p3/3 ˇ ˇ ˇ 2. Calcula ˇ p p ˇ. ˇ ˇ 5Ci 3

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Solución. Como lo que nos piden es el módulo no es precisorealizar las operaciones indicadas. Basta tener en cuenta que el módulo de un producto es el producto de los módulos y, por tanto, el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. En consecuencia: ˇ ˇ ˇ .2 C i p5/.1 C i p3/3 ˇ ˇ2 C i p5 ˇˇ1 C i p3 ˇ3 ˇˇ ˇ p ˇ ˇ ˇ p ˇp p p ˇ D6 2 ˇ ˇD ˇ 5 C i 3ˇ ˇ ˇ 5Ci 3

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3. Calcula los números complejos z tales que w D a) Un número real; b) Un númeroimaginario puro.

2z i es 2 C iz

Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que wD 2x C i .2y 1/ .2x C i .2y 1//.2 y D 2 y C ix .2 y/2 C x 2 2x 2 2y 2 C 5y i x/ D 3x C i . 2x 2 2y 2 C 5y .2 y/2 C x 2 5=4/2 D 9=16 2/

Por tanto, w es real si, y sólo si 2 D 0 ” x 2 C .y

Es decir, z está en la circunferencia de centro .0; 5=4/ y radio 3=4. Análogamente, w es imaginario puro si, ysólo si, x D 0, es decir, z está en el eje imaginario.

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Dpto. de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático

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4. Calcula los números complejos z tales que w D a) Es un número real; b) Tiene módulo 1.

z 1 i z C1Ci

Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que x z 1 i x 1 C i .y 1/ wD D D zC1Ci x C 1 C i .y C 1/

1 C i .y 1/ x C 1i .y C 1/ D .x C 1/2 C .y C 1/2 x 2 C y 2 2 C i .2y 2x/ D .x C 1/2 C .y C 1/2

Es claro que jwj D 1 si, y sólo si jz 1

Por tanto, w es real si, y sólo si, y D x ¤ 1, es decir, z está en la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero y z ¤ .1 C i /. i j D jz C 1 C i j ” .x 1/2 C .y 1/2 D .x C 1/2 C .y C 1/2 ” x C y D 0

Es decir, z está en la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto.5. Comprueba que el argumento principal de z D x C iy ¤ 0 viene dado por 8 ˆarc tg.y=x/  si y < 0, x < 0 ˆ ˆ ˆ ˆ =2 si y < 0, x D 0 ˆ < # D arc tg.y=x/ si x > 0 ˆ ˆ ˆ=2 si y > 0, x D 0 ˆ ˆ ˆ :arc tg.y=x/ C  si y > 0, x < 0

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Solución. Teniendo en cuenta que para t < 0 es =2 < arc tg t < 0 y para 06t es 0 6 arc tg t < =2, se sigue que el número # definido por las igualdades anterioresverifica que  < # 6 . Por tanto, para probar que # D arg.z/ bastará que comprobemos la igualdad z D jzj.cos # C i sen #/, es decir, las igualdades x D jzj cos #, y D jzj sen #. Para # D , # D =2 y # D =2 dichas igualdades son evidentes.

Sea x > 0 en cuyo caso # D arc tg.y=x/. En este caso, como =2 < # < =2, tenemos que tg # D y=x y deducimos y2 x2 C y 2 1 D 1 C tg2 # D 1 C 2 D ÷x 2 D .x 2 Cy 2 / cos2 #÷x D jzj cos # cos2 # x x2 donde, en la última implicación, hemos tenido en cuenta que x > 0 y cos # > 0. Deducimos también que x sen # D jzj sen # y D x tg # D cos # Consideremos x < 0 e y > 0. Tenemos que =2 < # D arc tg.y=x/ C  < , por lo que =2 < #  < 0, y deducimos tg # D tg.# / D y=x. Razonando como antes obtenemos que x 2 D.x 2 Cy 2 / cos2 #. Como x < 0 y cos # < 0, sesigue que x Djzj cos #. De esta igualdad deducimos, al igual que antes, que y D jzj sen #.

Consideremos x < 0 e y < 0. Tenemos que  < # D arc tg.y=x/  < =2, por lo que 0 < # C  < =2, y deducimos tg # D tg.# C / D y=x. Razonando como en el caso anterior volvemos a obtener las igualdades x D jzj cos #, y D jzj sen #. © 6. Expresa en forma polar los siguientes números complejos. p 3Ci 1 a)...