Numeros Reales

N´umeros reales
1.1. Sistemas num´ericos
1.1.1. N´umeros naturales: principio de inducci´on
Los n´umeros 1, 2, 3, . . . , reciben el nombre de n´umeros naturales. Con ellos se realizan dosoperaciones, la suma de n´umeros naturales y el producto de n´umeros naturales, que dan como
resultado otro n´umero natural perfectamente definido. Para dos n´umeros naturales cualesquiera
m y n, su sumasuele representarse por m + n y su producto por m • n o mn (si no ha lugar a
confusi´on). Si denotamos con N el conjunto de todos los n´umeros naturales, podemos pensar en la
suma y el producto comoaplicaciones del producto cartesiano N × N en N, de modo que
+ : (m, n) 2 N × N ! m + n 2 N, • : (m, n) 2 N × N ! mn 2 N.
Las propiedades fundamentales de estas operaciones son las que acontinuaci´on transcribimos:
Dados n´umeros naturales cualesquiera m, n, p, se cumplen
N1. Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p).
N2. Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m.
N3.Propiedad asociativa del producto: (mn) p = m(n p).
N4. Propiedad conmutativa del producto: mn = nm.
N5. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto: Hay un n´umero natural,
quedenotamos por 1, tal que 1 • n = n • 1 = n.
N6. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: m(n + p) = mn + mp.
Es posible asimismo “comparar el tama˜no” de dos n´umeros naturalescualesquiera , estableciendo
as´ı una relaci´on de orden en N. Suele escribirse m _ n para indicar que m es menor o igual
que n (o lo que es lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que tambi´en seescribe n _ m), y
pondremos m < n (o n > m) para expresar que m es estrictamente menor que n (o sea, que m es
menor y distinto que n). Esta relaci´on cumple para m, n, p 2 N
N7. Propiedad reflexiva: m _m.
N8. Propiedad antisim´etrica: si m _ n y n _ m, entonces m = n.
N9. Propiedad transitiva: si m _ n y n _ p, entonces m _ p.
N10. Propiedad de orden total: siempre es m _ n o n _ m.
N11....