Numeros Reales

ESQUEMA.

Introducción

1.-operaciones con conjunto

2.-propiedades de las operaciones con conjunto

3.-conjuntos numéricos N, Z, Q

4.-Conjunto R de los números reales

5.-Operaciones en R

6.-Intervalos

7.-Operaciones con intervalos

8.-Inecuaciones

9.-Inecuaciones lineales, Cuadráticas y racionales

10.- valor absolutoConclusión

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DESARROLLO



1.-operaciones con conjunto.

La  unión de los conjuntos  A y  B es el conjunto de todos los elementos de  A con todos los  elementos de  B sin repetir ninguno y se denota como  A ∪ B. Esto es:

Imagen



2.-propiedades de las operaciones con conjunto.

1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante lasiguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación:

VA => A = A

2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:

AUB = BUA

3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:

(AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.

El nuevo conjunto yéste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}

ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}

Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos.

Intersección de conjuntos. Se llama intersección de dosconjuntos A y B, y se representa por AnB, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y a B. Es lógico que la intersección de dos conjuntos disjuntos sea el conjunto vacío (no tiene elementos).

Ejemplo: Dados los conjuntos A = { d, f g, h } y B = { b, c, d, f }, su intersección será: AnB = {d,f}

La representación gráfica de dicha intersección estarepresentada en la figura, en la cual la intersección es la parte rayada.

Propiedades de la intersección. Son las mismas que las de la unión; por tanto, las expresaremos de la forma siguiente:

1. Propiedad idempotente: VA => AnA = A

2. Propiedad conmutativa: AnB = BnA

 Propiedad asociativa: (AnB)nC = An(BnC)



Propiedades comunes a la unión y a la intersección.

 Ley deabsorción. Tiene dos formas distintas que se expresan: An(AUB) = A y Au(BnC)

Expongamos un ejemplo como comprobación:

A = {1, 2, 3 , 4} y B = {1, 2, 3, 6}.

Hagamos primero la unión de A con B: AUB = {1,2,3,4,6}

y ahora, la intersección del mismo con el conjunto

A: An(AUB) = {1, 2, 3 , 4} = A

Análogamente:

AnB = {1, 2, 3}, AU(AnB) = {1, 2, 3 , 4} = A B) = { 1,2, 3, 4 } = A.3.-conjuntos numéricos N,Z,Q.

  -N = Conjunto de los Números Naturales

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número ilimitado de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, unantecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

-N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales

N 0 =  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

-Z  =  Conjunto de los Números Enteros

Z =   {–3, -2, -1, 0, 1,2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 =  ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le...