Numeros reales

NÚMERO REAL


Diferentes clases de números reales.
En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Números reales, son aquellos que poseen una expresión decimal.
Pueden ser descritosde varias formas, aparentemente simples, pero éstas carecen del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevófinalmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] Más adelante se describirán algunas de las definiciones más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de númerosracionales, Cortaduras de Dedekind.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Definición
El conjunto cuyos elementos son 0, 1, 2, 3, 4,... recibe el nombre de conjunto de los números naturales y se denota con el símbolo así:



Nótese que este conjunto tiene un primer elemento, a saber, el cero, pero no existe un último elemento.
Por esta razón diremos que el conjunto de los númerosnaturales es infinito.


EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Definición
El conjunto cuyos elementos son ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... recibe el nombre de conjunto de los números enteros y se denota con el símbolo así:




Nótese que:
1. El conjunto de los números enteros no tiene un primer elemento ni un último elemento, por lo que decimos que es infinito.2. Los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, ... pertenecen al conjunto de los números enteros, de donde se tiene que el conjunto de los números naturales es subconjunto del conjunto de los números enteros, lo que se expresa simbólicamente así:




EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Y EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
IRRACIONALES
Notación:
Sean y tal que .
La expresión denota elresultado de dividir por lo cual también se escribe o sea:

La expresión se lee " sobre "

Observación importante:
La división por cero no está definida, o sea, la frase " dividido por cero" no tiene sentido matemático.
Definición
El conjunto cuyos elementos son los números que se pueden presentar como , con y recibe el nombre de conjunto de los números racionales y sedenota con el símbolo , así:


Observación:
Recuerde que significa " dividido por " y como la división por cero no está definida (o sea la frase " dividido por cero " no tiene sentido matemático), es que en la definición anterior se pide que .
Ejemplo:
representan números racionales.


Definición
Sean y .
En la expresión , recibe el nombre de numerador y recibe elnombre de denominador. Y a la expresión recibe el nombre de fracción.

Consideremos los siguientes ejemplos ilustrativos:
1. Como entonces = 3
2. Como entonces = -6
3. Como entonces = -50
4. Sea Como entonces = a
Los ejemplos (1), (2), (3) son casos particulares del ejemplo (4), el que nos permite enunciar el siguiente resultado.
Todo número entero es un número racional, osea el conjunto de los números enteros es subconjunto del conjunto de los números racionales y escribimos:





EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Dados los resultados anteriores tenemos que todo número que se representa por una expansión decimal periódica (finita o infinita) es un número racional, pero cabe hacerse dos preguntas:
>Existen expansiones decimales que no sean...