numeros reales

Introducción a los Números Reales y a la Geometría Analítica
Dr. Yoel Gutiérrez
UNEXPO - Puerto Ordaz

1

Introducción

Una teoría matemática cuenta en su origen con
conceptos primitivos (no de…nidos) a partir de los
cuales pueden ser de…nidos los otros conceptos que
vayan surgiendo. En nuestro caso, consideraremos
los números reales como un concepto primitivo. Las
proposiciones que,sin demostrar, se aceptan como
ciertas se llaman axiomas y junto con los conceptos
primitivos constituyen el punto de arranque y base
de una teoría matemática.
Muchos de los resultados más importantes en
Matemáticas se llaman teoremas. En contraste con
los axiomas o de…niciones que se dan por supuestos,
los teoremas si requieren de una demostración. Un
teorema es una proposición compuestapor otras dos.
Una de ellas llamada premisa o hipótesis implica la
otra que se llama conclusión o tesis. La cadena de
razonamientos lógicos que permiten deducir la tesis
a partir de la hipótesis constituye lo que se llama
demostración del teorema.
Un teorema recibe el nombre de lema cuando por si
mismo no tiene mucha trascendencia en la teoría que
se esta desarrollando pero va a serusado, inmediatamente después de su formulación, en la demostración
de otro teorema de marcada importancia.
Un teorema recibe el nombre de corolario de otro
teorema cuando es una consecuencia inmediata de él.
En algunos casos se nos pide si una a…rmación como
la siguiente:
Para cualesquiera números reales a, b, c y d se
cumple que
si a > b

y

c > d;

entonces

a + c > b + d;

esverdadera o falsa.
Ante una situación como ésta es natural que comencemos probando con algunos casos particulares para observar si para ellos la proposición se cumple o no se
cumple.
Ahora bien, las consecuencias de esta forma de pro-

ceder son muy distintas según que las pruebas sean
positivas o negativas.
En efecto, si comprobamos que la proposición se
cumple para todos los casosparticulares que probemos a lo más que podemos llegar es a sospechar que
es cierta, pero con ello no hemos demostrado que la
proposición lo es, pues, ¿qué sucede con los casos no
considerados?
Si por el contrario, comprobamos que para un caso
particular la proposición no se cumple, este solo contraejemplo ya basta para refutarla.
Mientras no se diga lo contrario, las letras
a,b,c,......u,v,w,x,y,zque aparecen en los axiomas y
teoremas representan números reales cualesquiera.

2

Axiomas de cuerpo

Junto con el conjunto de los números reales se
supone la existencia de dos operaciones llamadas
adición y multiplicación, tales que para cada par de
números reales x e y se puede formar la suma de x e
y, que es otro número real designado por x + y y el
producto de x por y designado porxy o x:y. Estas
dos operaciones satisfacen los siguientes axiomas:
1. C0nmutatividad:. x + y = y + x, xy = yx.
2. Asociatividad:. x+(y+z) = (x+y)+z, x(yz) =
(xy)z.
3. Distributividad:. x(y + z) = xy + xz.
4. Elementos neutros:. Existen dos números reales
distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para
cada número real x se tiene: 0 + x = x + 0 = x
y 1:x = x:1 = x.
5. Inverso aditivo:.Para cada número real x existe
un único número real x tal que ( x) + x =
x + ( x) = 0.

Page 1

6. Inverso multiplicativo:. Para cada número real
x 6= 0 existe un único número real x 1 = x1 6= 0
tal que x 1 x = xx 1 = 1:
Las propiedades anteriores se han descrito, principalmente, en términos de suma y multiplicación.
Ahora podemos de…nir las operaciones básicas de
resta y división entérminos de las de suma y multiplicación, respectivamente.

Resta

11. ( a)b =

(ab) y ( a)( b) = ab.

Observaciones
Las siguientes propiedades básicas de la igualdad
se usan frecuentemente en el álgebra.
1. si a = b, entonces a + c = b + c.
2. si a = b, entonces ac = bc.
3. si a = b y c = d, entonces a + c = b + d.

La diferencia a
de…ne como

b de dos números reales a y b, se...