Numeros reales

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS REALES?

Los números reales están representados por (ℝ).
Se conoce como número real, a cualquier número racional e irracional; y en otro enfoque, los transcendentes y los algebraicos. Estos pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
El conjunto de los númerosreales está clasificado en:
 Números naturales: Representados por (N), son los números con los que podemos en numerar o contar, también son conocidos como los enteros positivos.

 Números enteros: Representados por (E), es el conjunto de todos los números naturales, pero con sus opuestos negativos, incluyendo el cero.

 Números Racionales: Es todo número que puede representarse como elcociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo, es decir una fracción común.

 Números Irracionales: Son los números que no puede ser expresado como una fracción, Es cualquier número real que no es racional.

En el siguiente esquema, se puede observar de una forma detallada la clasificación de los números; y el conjunto al que pertenecen.




AXIOMASDE LOS NUMEROS REALES

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación.Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

Los números reales, tiene tres tipos de axiomas, que son:

 Algebraicos: Se dividen en dos tipos.

Axiomas de la adición.
Propiedad conmutativa: Dice que el orden de los sumandosno altera el valor de la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es válido sólo para sumas finitas.
Propiedad conmutativa: Dice que el orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es válido sólo para sumas finitas.
Neutro aditivo: Dice que existe un elemento en los números reales que, al ser sumado con cualquier número real, sigue siendo ese mismo real. Estereal se llama cero.
Inverso aditivo: Dice que dado un número real cualquiera existe otro tal que la suma de ambos es nula.

Axiomas del producto.
Propiedad asociativa de la multiplicación: dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto.
Neutro multiplicativo: dice que existe un número real tal que el producto de éste con otro real, sigue siendo este último. Esteelemento es denotado por 1.
Inverso multiplicativo: dice que para cualquier real no nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo.

 De Orden:

Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que unnúmero es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su cordialidad es menor o igual que otra.
Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo que ya conocemos.
Ejemplo: Si y además , entonces .
Dice geométricamente que si está a la izquierda de y éste a su vez ala izquierda de , entonces debe estar a la izquierda de .

 Topológicos:
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente.
“Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente”....