Nuve

Capítulo 1
Lógica y Conjuntos
pág.47
1.11 Propiedades de las operaciones entre conjuntos
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Emplear propiedades de las operaciones entre conjuntos para
establecer igualdad entre ellos.
* Dada una propiedad de las operaciones entre conjuntos, demostrarla
empleando lógica proposicional.
* Plantear y resolver problemas de cardinalidadempleando álgebra
de conjuntos.
Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes
propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos.
A continuación se presentan las de uso más frecuente:
UNIÓN INTERSECCIÓN
A∪B = B∪A Conmutativa A∩B = B∩A
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) Asociativa (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
A∪A = A Idempotencia A∩A = A
A∪∅= A Identidad A∩Re = A
A∪Re = ReAbsorción A∩∅= ∅
Cuadro 1.10: Leyes de las Operaciones Fundamentales Unión e Intersección.
∅C = Re
(Re)C = ∅Complementación
(AC)C = A
Doble Complementación
o Involutiva
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) Distributivas
(A∩B)C = AC∪BC
(A∪B)C = AC∩BC De Morgan
A∪AC = Re
A∩AC = ∅
pág.48
(A ⊆B)⇔(BC ⊆AC)
(A ⊆B)⇔(AC∪B=Re)
(A∪B = Re)⇔(AC ⊆B)
(A∩B = ∅)⇔A ⊆BC
[(A ⊆C)∧(B⊆C)]⇔[(A∪B) ⊆C]
[(A ⊆B)∧(A ⊆C)]⇔[A ⊆(B∩C)] Transitividad
(A ⊆B)⇔[(A∩BC) ⊆∅] Reducción al absurdo
(A = B)⇔[(A ⊆B)∧(B ⊆A)]
(A = B)⇔(B = A)
Equivalencia
A∩B ≠ ∅⇒(A ≠ ∅)∧(B ≠ ∅)
A∪B = ∅⇔(A = ∅)∧(B = ∅)
(A∩B=Re)⇔(A=Re)∧(B=Re)
A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)
A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)
∅⊆A
A ⊆A
[(A ⊆B)∧(B ⊆C)]⇒(A ⊆C) Transitividad
[(A ⊆B)∧(C ⊆D)]⇒[(A∩C) ⊆(B∩D)]
[(A ⊆B)∧(C ⊆D)]⇒[(A∪C) ⊆(B∪D)]
Cuadro1.11: Otras Leyes.
Estas propiedades pueden ser demostradas usando las propiedades del
álgebra de proposiciones.
Ejemplo 1.45 Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos.
• p.d. A∪B=B∪A (Conmutatividad)
x ∈(A∪B)⇔(x ∈A)∨(x ∈B) Definición de Unión.
⇔(x ∈B)∨(x ∈A) Ley Conmutativa de la Disyunción.
⇔x ∈(B∪A) Definición de Unión.
• p.d. (A∪B)C = AC∩BC (Primera ley de De Morgan)
x∈(A∪B)C ⇔(x ∈Re)∧(x ∈(A∪B)) Definición de Complementación.
⇔(x ∈Re)∧[(x ∈A)∨(x ∈B)] Definición de Unión.
⇔(x ∈Re)∧[(x ∈A)∧(x ∈B)] Ley de De Morgan de la Disyunción.
⇔[(x ∈Re)∧(x ∈A)]∧[(x ∈Re)∧(x ∈B)] Ley de Idempotencia.
⇔x ∈(Re −A)∧x ∈(Re −B) Definición de Diferencia.
⇔x ∈(AC∩BC) Definición de Complementación.
Ejemplo 1.46 Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos.Capítulo 1
Lógica y Conjuntos
pág.49
• p.d. N(A∪B) = N(A) N(B)−N(A∩B)
A= (A−B)∪(A∩B) Expresado mediante conjuntos disjuntos.
N(A) = N(A−B)N(A∩B) Su cardinalidad es la suma.
N(A−B) = N(A)−N(A∩B) Se obtiene esta expresión útil.
A∪B = (A−B)∪(A∩B)∪(B−A) Expresado mediante conjuntos disjuntos.
N(A∪B) = N(A−B)N(A∩B)N(B−A) Su cardinalidad es la suma.
N(A∪B)=N(A)−__________N(A∩B)N(A∩B)N(B)−N(B∩A) Cardinalidad de la diferencia.
N(A∪B) = N(A)N(B)−N(A∩B) Se completa la demostración.
Se puede demostrar que:
N(A∪B∪C) = N(A)N(B)N(C)−N(A∩B)−N(A∩C)−N(B∩C)N(A∩B∩C)
Ejemplo 1.48 Operaciones entre conjuntos.
Si en el diagrama de Venn que se muestra a continuación el conjunto
A está dado por el círculo externo, el conjunto B está dado por el
círculo interno y el conjunto C está dado por el triángulo,determine el
conjunto que representa la región sombreada.
Solución:
La primera parte del conjunto solicitado la constituye el conjunto
(A∩BC)∩C, tal como se muestra en el diagrama siguiente:
Re
A
B
C
Ejemplo 1.47 Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos.
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La segunda parte del conjunto solicitado la constituye el conjunto
(B∩CC), el cual se representa en el siguientediagrama:
A partir de estos diagramas de Venn, podemos deducir que la región
sombreada requerida puede ser representada por el conjunto:
[(A∩BC)∩C]∪(B∩CC)
Re
A
B
C
Re
A
B
C
Ejemplo 1.49 Cardinalidad de conjuntos.
Determine el porcentaje de alumnos que practican fútbol y básquet, si al
entrevistar a 1000 estudiantes se obtuvieron los siguientes resultados:...