Números Complejos

INTRODUCCIÓN Girolamo Cardano, eminente matemático italiano del siglo XVI, fue el primero en reconocer la verdadera importancia de las raíces negativas al establecer la teoría general de las ecuaciones de tercero y cuarto grado. Se dio cuenta de la necesidad de los números negativos y llegó a hablar incluso de raíces cuadradas de números negativos aunque, al parecer, no llegó a precisar elconcepto de número imaginario. Rafael Bombelli, también italiano, continuó la obra de Cardano y, en una obra publicada en 1572, señaló que los números imaginarios eran indispensables para la solución de ecuaciones de la forma x2 + c = 0, donde c es un número positivo. A partir de entonces los números imaginarios fueron atacados y declarados por muchos como “imposibles” o “inexistentes”, sólo por elhecho de no poder relacionarlos con experiencias de su vida cotidiana. Pero una ecuación como x2 + 1= 0 no iba a quedarse sin solución. Las matemáticas requerían de los números imaginarios para desarrollarse y, finalmente, éstos se impulsaron. Un número imaginario representa una idea abstracta pero muy precisa. La respuesta a la pregunta:¿ Qué número al ser multiplicado por sí mismo es igual a – 1?,sólo puede concebirse con la ayuda del imaginario más conocido, el que Euler representó con el símbolo i que todavía se emplea.

TEMA 3. NÚMEROS COMPLEJOS Objetivo: El alumno usará los números complejos en sus diferentes representaciones y sus propiedades, para resolver ecuaciones con una incógnita que contenga números complejos. i) Forma binómica.

Sea la ec. x 2 + 4 x + 13 = 0 , obtenga susraíces. De la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado, obtenemos:
ax 2 + bx + c = 0 ,

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

obtenemos x = -2 ± 3i, suma de un número real con un número imaginario, lo cual debe interpretarse como un nuevo tipo, surgen así, los números complejos cuyo conjunto, que representaremos co n C se define como sigue:
C = Z Z = a + bi; a, b ∈ R, i 2 = −1 Ej. -2 +3i, -2 – 3i, 1+ 5i ,

{

}

1 − πi , son números complejos 2

1/11

Para manejar los números complejos necesitamos saber cuándo dos de ellos son iguales, por lo que establecemos la siguiente definición: Sean Z1 = a + bi, Z2 = c + di, dos números complejos con a, b, c, d Є R, entonces Z1 = Z2 si a=c y b=d

LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN EN C Sean Z1 = a + bi, Z2 = c + di, dos númeroscomplejos con a, b, c, d Є R i) el número Z1 + Z2 se define como Z1 + Z2 = ( a + c) + ( b + d) i ii) el número Z1 Z2 se define como Z1 Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i Estas operaciones tienen las siguientes propiedades Teorema Para todo Z1 , Z2 , Z3 Є C i) Z1 + Z2 Є C Z1 Z2 ii) ЄC asociatividad cerradura

Z1 + ( Z2 + Z3 ) = ( Z1 + Z2 ) + Z3 Z1 ( Z2 Z3 ) = ( Z1 Z2 ) Z3

iii)

Z1 + Z2 = Z2 + Z1Z1 Z2 = Z2 Z1

conmutatividad

iv)

Z1 + ( 0 + 0i ) = Z1 Z1 ( 1 + 0i ) = Z1

Elemento idéntico

v)

∃ - Z1 Є C tal que Z1 + ( - Z1 ) = 0 + 0i
si Z1 ≠ 0 + 0 i ∃ - Z1 -1 Є C tal que Z1 Z1 -1 = 1 + 0i elementos inversos distributividad
2/11

vi)

Z1 ( Z2 + Z3 ) = Z1 Z2 + Z1 Z3

A la forma a + bi, se le conoce como forma binómica debido a su apariencia de binomio Z = a + bi dondeR ( Z ) = a, I ( Z ) = b

A los números reales a y b se les conoce respectivamente, como parte real y parte imaginaria de Z. CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea z = a + bi un número complejo. El conjugado de z. que representaremos con z , se define como

z = a – bi El conjugado tiene las siguientes propiedades
Teorema

Para todo z1, z2 Є C i)

z 1 = z1 z1 = z1 ⇔ z1 Є R
z1 + z 1 , Є R z1z1 Є R
z1 + z 2 = z1 + z 2 z 1z 2 = z1 z2

ii)
iii) iv) v)
vi)

LA SUSTRACCIÓN Y LA DIVISIÓN EN C
Sean Z1 = a + bi, Z2 = c + di, dos números complejos, donde a, b, c, d Є R i) el número Z1 - Z2 se define como Z1 - Z2 = Z1 + ( -Z2 ) ii) si Z2 ≠ 0 + 0i el número

z1 se define como z2

z1 = Z1 Z2 -1 z2
3/11

de la definición anterior se pueden obtener las siguientes fórmulas de...