Números reales (universidad)

Cap´ıtulo 3

N´
umeros reales
El campo de los n´
umeros reales se puede definir suponiendo que se tiene los n´
umeros racionales
y definiendo un n´
umero real en t´erminos de n´
umeros racionales. Este fue el m´etodo usado por
Richard Dedekind. Por otra lado, se puede definir el sistema de los n´
umeros reales por un conjunto
de axiomas y posteriormente demostrar que los n´
umeros racionalespueden considerarse como un
subconjunto de los n´
umeros reales. Este es el m´etodo que se usar´a en estas notas.

3.1.

Axiomas de los n´
umeros reales

El campo de los n´
umeros reales es un conjunto R y dos operaciones, adici´on y multiplicaci´
on
que satisfacen los siguientes axiomas:
1. Cerradura. Si a, b ∈ R, entonces a + b ∈ R y a · b ∈ R.
2. Conmutativa. Si a, b ∈ R entonces a + b = b + a y a· b = b · a.
3. Asociativa. Si a, b, c ∈ R entonces (a + b) + c = a + (b + c) y (a · b) · c = a · (b · c).
4. Existencia de neutros
a) ∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R llamado neutro aditivo, tal que a + 0 = a.
b) ∀ a ∈ R, ∃ 1 ̸= 0 ∈ R, llamado neutro multiplicativo, tal que a · 1 = a.
5. Existencia de inversos
a) Para cada a ∈ R existe un y s´olo un elemento, al que denotaremos por −a, llamado
inverso aditivo dea, tal que a + (−a) = 0.
1

´
CAP´ITULO 3. NUMEROS
REALES

2

b) Para cada a ∈ R, a ̸= 0 existe un y s´olo un elemento, al que denotaremos por a−1 ,
llamado inverso multiplicativo, tal que a · a−1 = 1.
6. Propiedad distributiva. Para todo a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c.
La operaci´on de adici´on asocia con cualesquiera dos n´
umeros a, b de R un elemento u
´nico de
R que se llamar´a a +b. Similarmente, la operaci´on de multiplicaci´on asocia con cualesquiera a,
b ∈ R, un elemento u
´nico de R al que llamaremos a · b o a b. La propiedad distributiva dice como
se combinan las dos operaciones antes definidas en el campo de los n´
umeros reales.
A continuaci´on enunciaremos algunos teoremas sobre los n´
umeros reales. No est´a en el objetivo
de estas notas demostrarlos, eso sehar´a en el curso de c´alculo diferencial, pero esto no impedir´a su
uso.
Teorema 3.1. Para toda a ∈ R, a · 0 = 0 = 0 · a.
Teorema 3.2. Para toda a ∈ R, −a = (−1) · a.
Corolario 3.3. Para a y b en R arbitrarios, a(−b) = −ab = (−a)b.
Teorema 3.4. Para toda a ∈ R, −(−a) = a.
Teorema 3.5. Para toda a y b ∈ R, (−a)(−b) = ab.
Teorema 3.6. Dados a y b ∈ R, si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0.
Hay otras dosoperaciones sobre el campo de los n´
umeros reales que no est´an incluidas expl´ıcitamente en los postulados, a saber, la resta y la divisi´on. Estas operaciones est´an definidas como
sigue:
Definici´
on 3.7. Para cada a y b ∈ R, a − b = a + (−b).
Definici´
on 3.8. Para cada a y b ∈ R, con b ̸= 0,
a
= ab−1
b
N´otese que 0 no tiene inverso multiplicativo, y por lo tanto, la divisi´on por cero noest´a definida.
La hip´otesis de que 0 tuviera inverso multiplicativo no ser´ıa consistente con los otros postulados.
Pues si 0 tuviese un inverso multiplicativo, ll´amese, a, entonces a·0 = 1. Esto estar´ıa en contradicci´
on
con el teorema 1.1, y por lo tanto, habr´ıa inconsistencia en los postulados que se usan para demostrar
el teorema 1.1. Es por esto que la divisi´on entre cero no puededefinirse.
Ejemplo 3.9. Demu´estrese que para a, b, c, d ∈ R se tiene
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Soluci´
on. Mediante la aplicaci´on del la ley distributiva, se tiene
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.

3.2. EXPONENTES Y RADICALES

3.2.

3

Exponentes y radicales

√
√
Hasta este punto no se puede demostrar que n´
umeros irracionales tales como 2 o 7 son
n´
umeros realessin usar el axioma del supremo. En el curso de c´alculo se probar´a que tales n´
umeros
son n´
umeros reales. Entre tanto, se vera en esta secci´on el significado de expresiones de la forma am
en donde a ∈ R, m ∈ Q, las propiedades de los exponentes, radicales y ra´ız n-´esima de un n´
umero
real.
Definici´
on 3.10. Sean a ∈ R y n ∈ Z+ , la expresi´on
an = a · a · ... · a
n factores

se llama...