onda viajera

CAPÍTULO 1. Teoría de la onda viajera

TÉCNICA DE LAS ALTAS TENSIONES I
1

Ecuación de la línea de transmisión y teoría de onda viajera

1.1

Deducción de las ecuaciones de la línea de transmisión para el caso monofásico.

Para la determinación de las ecuaciones de la línea de transmisión, se considera un elemento ∆x de la línea
como se muestra en la siguiente figura:
R∆x

L∆xi(x,t)

V(x,t)

C∆x

G∆x V(x+∆x,t)

i(x+∆x,t)

∆x

x

Fig. 1.1 Circuito equivalente de una línea de transmisión.

Donde:
R = resistencia de la línea en [Ω/m].
L = inductancia de la línea en [Η/m].
C = suceptancia de la línea en [F/m].
G = conductancia de la línea en [S/m].
∆x = segmento de longitud de línea en [m].
Analizando el circuito a partir de las ecuaciones de Kirchoff setiene:

di ( x, t )
dt
dv( x + ∆x, t )
i ( x, t ) = i ( x + ∆x, t ) + G∆xv( x + ∆x, t ) + C∆x
dt
v( x, t ) = v( x + ∆x, t ) + R∆xi( x, t ) + L∆x

(1.1)
(1.2)

Despejando ∆x se tiene:
v ( x , t ) − v ( x + ∆x , t )
di
= Ri + L
∆x
dt
i ( x, t ) − i ( x + ∆x, t )
dv
= Gv + C
∆x
dt

Definiendo la derivada como

(1.3)
(1.4)

dy
f ( x + ∆x) − f ( x)
= lim ∆x→0
yaplicando ésta en (1.3) y (1.4), se tiene:
dx
∆x
−

∂v
di
= Ri + L
∂x
dt

TÉCNICA DE LAS ALTAS TENSIONES I –ACADEMIA DE POTENCIA-

(1.5)

1

CAPÍTULO 1. Teoría de la onda viajera
−

∂i
dv
= Gv + C
∂x
dt

(1.6)

En el dominio de la frecuencia las ecuaciones anteriores son:

∂V
= RI + sLI = ( R + sL) I
∂x
∂I
− = GV + sCV = (G + sC )V
∂x
−

(1.7)

(1.8)

Derivandocon respecto a x cada una de las ecuaciones anteriores se tiene:

∂ 2V
∂I
= ( R + sL) = ( R + sL)(G + sC )V
2
∂x
∂x
2
∂ I
∂V
= (G + sC )
= (G + sC )(R + sL) I
2
∂x
∂x

(1.9)
(1.10)

Definiendo:
2

γ = (R + sL)(G +sC)
Donde:
s = jw
z = R + jwL = Impedancia de la línea
y = G + jwC = Admitancia de la línea
Por lo tanto:

γ = zy

(1.11)

Donde:
γ = coeficiente depropagación de la onda.
De esta manera se tiene:
∂ 2V
= γ 2V
∂x 2
∂2I
= γ 2I
∂x 2

(1.12)
(1.13)

Resolviendo las ecuaciones anteriores se llega a las siguientes ecuaciones:

V ( x, s) = f1 (s)eγx + f 2 (s)e−γx
y
y
I ( x, s) = − f1 ( s)e γx + f 2 ( s )e −γx
γ
γ

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(1.14)
(1.15)

2

CAPÍTULO 1. Teoría de la onda viajeraLa ecuación (1.15) se puede escribir sustituyendo γ a partir de (1.11) y queda como sigue:
y
I ( x, s ) = −
f1 (s)eγx − f 2 (s)e −γx
z

[

]

(1.16)

Trasladando (1.14) y (1.16) en el dominio del tiempo, se obtienen las ecuaciones generales de la línea de
transmisión:

v( x, t ) = f 1 (t + γx) + f 2 (t − γx)
i ( x, t ) = −

y
[ f1 (t + γx) − f 2 (t − γx)]
z

(1.17)
(1.18)Ahora se analizan los argumentos de las funciones f1 y f2.
Argumento de f1 = t + γx. Para un instante de tiempo t1 y una posición x1 se tiene: t1 + γx1.
Para un tiempo t2 > t1 y una posición x2 se tiene: t2 + γx2.
Ahora, como el argumento determina el valor de la función, se tiene:
t1 + γx1 = t2 + γx2
Despejando x2 se tiene:
x2 = (t1 – t2) γ + x1
Pero t2 > t1, queda:

x2 = - ∆t / γ +x1

De aquí se concluye que x2 < x1. Esto significa que f1(t + γx) es una onda viajera en sentido negativo.
Analizando el argumento de f2 se tiene:
t1 – γx1 = t2 – γx2
Despejando x2 se tiene:
x2 = (t2 – t1) γ + x1 = ∆t / γ + x1
Así x2 >x1, lo que se concluye que f2(t – γx) es una onda viajera en sentido positivo.
Ahora bien, si se divide la onda de tensión viajando en sentido negativo porla onda de corriente viajando
también en el mismo sentido, se tiene:
v−
=
i−

f1 (t + γx)
z
=−
= ZC
y
y
−
f1 (t + γx)
z

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(1.19)

3

CAPÍTULO 1. Teoría de la onda viajera
Se conoce ZC como la impedancia característica de la línea de transmisión, siendo el signo negativo la
dirección de la corriente.
Si se relacionan...