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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON
DOS INCÓGNITAS.
El propósito de este tema es enseñarte a resolver sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
En primer lugar se analiza gráficamente un sistema para que se entienda mejor el
significado de las soluciones. Verás que un sistema puede tener una solución, no tener
solución o tener infinitas soluciones.
A continuación se pasaa resolver sistemas. Se analizan uno a uno los tres métodos de
resolución:
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Método de Sustitución
Método de Igualación
Método de Reducción

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Ejercicios Resueltos.

Aparecen tres ejercicios resueltos con varios ejemplos cada uno indicando qué método
puede ser el más conveniente en cada caso, aunque se puede aplicar cualquiera de ellos.
Página 19Ejercicios Propuestos.

Estos ejercicios no están resueltos pero se indica la solución.
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Problemas Resueltos.

Estos sistemas son muy útiles para resolver problemas en los que aparecen dos
incógnitas.
En este apartado se explica cómo se puede hacer el planteamiento de un problema y
luego se resuelve.
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Problemas Propuestos.

Ahora te toca a ti practicar. Nomires la solución hasta el final.

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON
DOS INCÓGNITAS.
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma:
ax + by = c
donde a, b, y c son números (coeficientes) y las incógnitas son x e y. Gráficamente representa
una recta en el plano. Veamos un ejemplo.
Representa la recta 2x + y = 1
Para representar una recta en el plano
1ºDespejamos y.
y = -2x + 1
2º Hacemos una tabla de valores dando los valores que queramos a la x.
x
y

-2
5

-1
3

0
1

1
-1

2
-3

3º Representamos los puntos en el plano y los unimos.

Atención !! Las soluciones de la ecuación anterior son los puntos por los que pasa la recta, por
lo tanto tiene infinitas soluciones, que hemos ido encontrando dando valores a la x.
Algunas de estassoluciones son: (-2, 5), (-1,3), (0, 1), (1,-1), (2,-3), (3,-5)
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas será de la forma:
⎧ ax + by = c
⎨
⎩a ' x + b ' y = c '
Nuestro objetivo es resolver dicho sistema, es decir, encontrar los valores de x e y que cumplen
las dos ecuaciones a la vez. ¿habrá siempre solución? ¿habrá una única solución o infinitas?

Gráficamente lo quetenemos son dos rectas en el mismo plano y se pueden dar tres situaciones:
1º. Las rectas se cortan en un punto. Hay una solución, que es el punto de corte.

2º Las rectas son paralelas. No hay solución, pues las rectas no se cortan.

3º Las rectas son coincidentes. Hay infinitas soluciones, los puntos de una de las rectas.

Para resolver un sistema analíticamente se pueden seguir tresmétodos. Dependiendo de cómo
venga expresado el sistema un método puede ser más fácil de aplicar que otro.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.
1. Se despeja una incógnita de una ecuación (la que te parezca más fácil de despejar)
2. Se sustituye en la otra ecuación, quedando una ecuación de primer grado.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las ecuaciones yoperando sacas la
otra.
Atención!!
En el paso 3 pueden suceder tres situaciones:
* Si llegas a 0 = 0 entonces hay infinitas soluciones
* Si llegas a 0 = k ( k distinto de cero) no hay solución
* Si llegas a un valor entonces hay una solución única y haces el paso 4.
Este método resulta fácil de aplicar cuando una de las incógnitas tiene coeficiente igual a uno o
cuando una de lasincógnitas te la dan ya despejada.
Ejemplo 1
⎧ x+ y =2
⎨
⎩2 x + y = 5
1º Despejo por ejemplo la x de la primera ecuación:

x=2–y

2º Sustituyo

2(2 - y) + y = 5

3º Resuelvo la ecuación

4 - 2y + y = 5
-y = 5 – 4
y = -1

4º Sustituyo el valor obtenido en una ecuación

x + (-1) = 2
x -1 = 2
x=3

O bien sustituyes en la ecuación del primer paso

x = 2 – (-1)
x=3

Solución...