Operadores lineales

OPERADORES LINEALES

Un operador en el espacio complejo N-dimensional se define por su acción sobre los diversos vectores de ese espacio. Sea [pic]  un operador perteneciente al espacio V  :
 [pic]
En la ecuación anterior se expresa el efecto del operador [pic]  sobre un vector [pic]  perteneciente al mismo espacio V . El operador [pic]  actúa sobre el vector [pic]  de tal forma que loconvierte en el vector [pic]  perteneciente al mismo espacio V . El operador es lineal si cumple con la siguiente  ecuación:
 [pic]
donde c y d son números o escalares arbitrarios y [pic]  son dos vectores cualesquiera pertenecientes al espacio V.
Tomemos la expresión algebraica del vector [pic]  en términos de la combinación de sus componentes las cuales son las proyecciones sobre los ejesrespectivos:
[pic]
La proyección del vector [pic]  a lo largo del eje [pic]  es:
[pic]
Los [pic] son los elementos de la matriz que representa al operador [pic] en la base [pic] :
 [pic]

ÁLGEBRA MATRICIAL
PROF. MARIELA SARMIENTO
SESIÓN 2: ESPACIO VECTORIAL
Propiedades de la adición de vectores y la multiplicación de un vector por un
escalar
Teorema 2.1: Si A, B y C son vectores cualesquiera yc y d son escalares
entonces la suma vectorial y la multiplicación por un escalar cumplen lo siguiente:
1. A + B = B + A (Ley conmutativa)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Ley Asociativa)
3. ∃ O tal que A + O = A (Elemento Neutro para la suma)
4. ∃ -A tal que A + (-A) = O (Elemento Simétrico o Negativo)
5. c(A + B ) = cA + cB (Ley Distributiva)
6. (c + d) A = cA + dA (Ley Distributiva)Definición: Un Espacio Vectorial real V está formado por un conjunto de vectores,
y un conjunto de escalares (números reales), y está dotado por dos operaciones
suma de vectores y multiplicación por un escalar tal que para cada par de vectores
A∈V y B∈V y ∀c∈R se tiene: A+B ∈ V y cA ∈ V de tal forma que se
satisfacen las propiedades del Teorema anterior.
Observación:
Si A = ( a1 , a2 ) se tiene:(a1, a2) = (a1, 0) + (0, a2) = a1(1, 0) +
a2(0, 1)
Los vectores (1, 0) y (0, 1) son
vectores de magnitud 1 por lo que se
llaman vectores unitarios y los
denotamos por:
i = (1, 0 ) , j = ( 0 , 1)
Representación geométrica de i y j:
Propiedades de los espacios vectoriales
Sea (V, K, +, . ) un espacio vectorial
1. 0 . u = O ∀ u ∈ V
2. α . O = O , ∀ α ∈ K
3. α . u = 0 → α = 0 ó u = O
4.(- α)u = -(αu) , ∀u∈V y ∀α∈K. En particular -u = (-1)u = -( 1u)
SUBESPACIOS
Definición: Dado (V, K, +, . ) un espacio vectorial y dado S ⊂ V un subconjunto
no vacío de V, decimos que (S, K, +, . ) es un subespacio de (V, K, +, . ) si y sólo
si (S, K, +, . ) es un espacio vectorial.
Ejemplo 1: Sea (R2, R, +, . ) y sea S = { (x,y) ∈ R2 / y = 2x } S es un
subespacio de R2. En efecto, S ⊂ R2 ycumple con todas las propiedades para (S,
R, +) y (S, R, .) , luego S es un espacio vectorial.
Proposición: Si S ⊂ V , S ≠ ∅ y S es cerrado con respecto a la suma y al
producto por un escalar entonces (S, K, +, . ) es un subespacio de (V, K, +, . ).
Ejemplo 2: Verifiquemos que S, dado en el ejemplo 1, es un subespacio de
(R2, R, +, . ).
1. S ≠ ∅ ? Si porque (1,2) ∈ R2
2. S ⊂ V ? Cierto, pordefinición de S todos los elementos de S están en R2.
3. S es cerrado respecto a la suma ? ( Si a , b ∈ S → a + b ∈ S ?)
Sea a (x , y) y b (z, w) → y = 2x , w = 2z Luego
a + b = (x, y)+ (z,w) = (x,2x)+ (z,2z) = (x + z,2x + 2z) = (x + z ,2(x + z))∈ S
4. S es cerrado respecto al producto por un escalar?
(Si α∈R y a∈S → αa ∈ S ?)
α a =α (x, y) =α (x, 2x) = (α x , 2α x)∈ S
Luego S es unsubespacio de R2
OPERACIONES CON SUBESPACIOS
1. Intersección de Subespacios:
Sea {Si} una familia de subespacios de (V, K, +, . ) entonces Ii
S = Si es un
subespacio de V.
2. Unión de Subespacios:
Si S1 y S2 son subespacios de V entonces S1 U S2 no necesariamente es un
subespacio de V.
Ejemplo 3:
En (R2, R, +, . ), consideremos a S1
y S2 formados por cada una de las
rectas de la figura,...