Operadores

Semana 6 - Clase 18

18/01/11

Tema 3: E. D. O. de orden > 1

Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales 1. Operador Diferencial

Un operador es un objeto matem´tico que convierte una funci´n en otra, por ejemplo, el operaa o dor derivada convierte una funci´n en una funci´n diferente llamada la funci´n derivada. Podemos o o o definir el operador derivada D que al actuar sobre unafunci´n diferenciable produce la derivada o de esta, esto es: D0 f (x) = f (x) , D1 f (x) = f (x) , D2 f (x) = f (x) , . . . , Dn f (x) = f (n) (x) .

Es posible construir la siguiente combinaci´n lineal con los operadores diferenciales: o P (D) = a0 + a1 D + a2 D2 + · · · + an Dn , an = 0 . (1)

donde a2 , a1 , a2 , . . . an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el OperadorPolinomial de orden n. La utilidad de este objeto matem´tico quedar´ clara si hacemos la siguiente definici´n a a o P (D)y ≡ an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a2 D2 + a1 D + a0 y (2)

= an Dn y + an−1 Dn−1 y + · · · + a2 D2 y + a1 Dy + a0 y = an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y + a1 y + a0 y

Por otro lado, recordemos que una ecuaci´n diferencial lineal de orden n con coeficientes conso tantes es unaecuaci´n de la forma o an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y + a1 y + a0 y = Q(x) , por lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta como P (D)y = Q(x) . El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las siguientes propiedades Si f1 (x) y f2 (x) son dos funciones diferenciables de orden n, entones P (D) [αf1 (x) + βf2 (x)] = αP (D)f1 (x) + βP (D)f2 (x) donde α y β sonconstantes. Adem´s: a Si y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) son n soluciones de la ecuaci´n diferencial homog´nea P (D)y = 0 o e entonces yh (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x) es tambi´n una soluci´n. e o Si yh (x) es una soluci´n de P (D)y = 0 y yp (x) es una soluci´n de P (D)y = Q(x) entonces o o y(x) = yh (x) + yp (x) es una soluci´n de P (D)y = Q(x). o H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜ 1Universidad de Los Andes, M´rida e (4) (3)

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Si yp1 (x), yp2 (x), . . . , ypn (x) son soluciones particulares de las respectivas n ecuaciones P (D)y = Q1 (x), P (D)y = Q2 (x), . . . , P (D)y = Qn (x) resulta entoneces que P (D) [yp1 (x) + yp2 (x) + · · · + ypn (x)] = Q1 (x) + Q2 (x) + · · · + Qn (x) implica que yp (x) = yp1 (x) +yp2 (x) + · · · + ypn (x) es una soluci´n de o P (D)y = Q1 (x) + Q2 (x) + · · · + Qn (x) Ejemplo Encuentre una ecuaci´n particular de o y + y = x2 + xe2x + 3 ⇒ D2 + 1 y = x2 + xe2x + 3

Por alguno de los m´todos anteriormente vistos podemos encontrar las soluciones particulares de e cada una de las siguientes ecuaciones D2 + 1 y = x 2 , las soluciones son, respectivamente yp1 (x) = x2 − 2 , yp2(x) = 1 5 4 xe2x − e2x 5 , yp3 (x) = 3 D2 + 1 y = xe2x , D2 + 1 y = 3

por lo tanto, una soluci´n particular de la ecuaci´n diferencial problema es o o yp (x) = x2 − 2 + 1 5 4 xe2x − e2x 5 + 3 = x2 + 1 + 1 5 4 xe2x − e2x 5 .

Al operador diferencial tambi´n se le pueden agregar las siguientes propiedades. Consideremos e los operadores P1 (D) = an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a2 D2 + a1 D + a0 P2(D) = bn D + bn−1 D con n ≥ m. (P1 +P2 )f (x) = P1 f (x)+P2 f (x) = an Dn + · · · + an Dn + · · · + (a2 + b2 )D2 + (a1 + b1 )D + a0 + b0 f (x) [g(x)P (D)] f (x) = g(x) [P (D)f (x)] g(x) [P1 (D) + P2 (D)] f (x) = g(x) [P1 (D)f (x)] + g(x) [P2 (D)f (x)] [P1 (D)P2 (D)] f (x) = P1 (D) [P2 (D)f (x)] H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜ 2 Universidad de Los Andes, M´rida e
n n−1

(5) (6)

+ · · · +b2 D + b1 D + b0

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Si el operador polinomial diferencial puede ser factorizado, es decir, si: P (D) = an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a2 D2 + a1 D + a0 = an (D − m1 )(D − m2 ) · · · (D − mn ) , las cantidades: m1 , m2 , . . . , mn son las raices de la ecuaci´n caracter´ o ıstica de P (D)y = 0. Si P (D) = an Dn + an−1 Dn−1 +...