optimizacion

Universidad de la Frontera

1

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica
Cl´ınica de Matem´
atica

Problemas de Optimizaci´
on

J. Labrin - G.Riquelme

1. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 50cm3 . Encuentre las
dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado.

V = x2 y & = 50
50 = x2 y

Soluci´
onLuego diremos que el ´area de la caja sin tapa ser´
a:
A = x2 + 4xy

´
Esta
es la cantidad de material que deseamos que sea m´ınima; vemos que es una funci´on de dos variables.
Despejamos y de la restricci´on dada:
50
y= 2
x
Sustituimos en el ´
area y obtenemos uan funci´on de una sola variable:
A(x) = x2 + 4x

50
x2

= x2 +

200
x

= x2 + 200x−1

Derivando:
A′ (x) = 2x −200x−2 = 2x −

2x3 − 200 ′′
200
=
A (x)
x2
x2

=2+

400
>0
x3

Calculamos Puntos cr´ıticos:
A′ (x) = 0 ⇒ 2x3 − 200 = 0 ⇒ x3 = 100 ⇒ x =

√
3

100cm

Es un m´ınimo absoluto, pues A′′ (x) > 0 para cualquier x¿0. El valor correspondiente de la otra variable
es:
1√
1
50
3
100 = x
y=
2 =
2
2
100 3

1

2. Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso,m´argenes superior e inferior de 2 cm de altura y
m´argenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

Soluci´
on

Sea x el ancho de la hoja e y el alto de ella, de esta manera su area es A = xy. Como los m´
argenes
superior e inferior suman 4 cm en total y los m´argenes laterales suman 2 cm. tenemos que el ´
area del
texto escrito es (x − 2)(y− 4) = 18. de esta ecuacion podemos despejar la variable y obteniendo que
4x + 10
4x + 10
. Luego podemos escribir el ´area de la hoja como A = x
, dicha ´area debemos
y =
x−2
x−2
minimzar.
4x2 + 10x
x−2
(8x + 10)(x − 2) − (4x2 + 10x)
A′ =
(x − 2)2
2
8x − 16x + 10x − 20 − 4x2 − 10x
A′ =
(x − 2)2
4x2 − 16x − 20
A′ =
(x − 2)2
A=

Vemos que x = 5 y x = −1 anulan la derivada,descartando el -1 como m´ınimo debemos quedarnos con
x = 5. De este modo las dimensiones pedidas son x = 5, y = 10.
3. Un campesino tiene 300m de malla para cercar en dos corrales rectangulares iguales y contiguos. Determinar las dimensiones de los corrales para que el ´area cercada sea m´axima.
Soluci´
on

Tenemos que el per´ımetro y el ´
area de los corrales son:
P = 4x + 3y = 300 & A =2xy
Despejamos y quedando:
y=

2

300 − 4x
3

Entonces el a´
area es:
A(x) =

8
2x(300 − 4x)
= 200x − x2
3
3

Derivando y obteniendo puntos cr´ıticos:
A′ (x) = 200 −

16
75
16
x = 0 ⇒ x = 200 ⇒ x =
es el punto cr´ıtico
3
3
2

Derivando por segunda vez:
A′′ (x) = −

16
< 0 entonces se trata de un m´aximo.
3

Luego el ´area m´
axima ocurre para x =

75
2 m& y = 50m

4. Un terreno tiene la forma de un rect´angulo con dos semic´ırculos en los extremos. Si el per´ımetro del
terreno es de 50m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el ´area m´axima.
Soluci´
on

El ´area del terreno es
A = 2xy + πx2
El per´ımetro, P = 50m, est´
a dado por P = 2y + 2πx, por lo que:
2y − 2πx = 50 ⇒ y =

50 − 2πx
= 25 − πx
2

Si sustituimos´este valor en la f´ormula del ´area, la tendremos expresada como funci´on de una viariable
x:
A(x) = 2x(25 − πx) + πx2 = 50x + x2 (π − 2π) = 50x − πx2
Obteniendo puntos cr´ıtico:
A′ (x) = 0 ⇒ A′ (x) = 50 − 2πx = 0 ⇔ x =

25
π

area m´
axima
Como A′′ (x) = −2π < 0, se trata de un m´aximo; adem´as y = 25 − π 25
π = 0, es decir, el ´
se obtiene cuando el terreno tiene la formacircular.

3

5. Una ventana presenta forma rect´
angular coronada por un semic´ırculo. Encuentre las dimensiones de la
ventana con m´
axima, si su per´ımetro es de 10m.
Soluci´
on

Si A es el ´
area que deseamos que sea m´axima y P es el per´ımetro de la ventana, entonces:
1
A = xy + πr 2 & P = x + 2y + πr
2
Pero r =

x
2

y P = 10:
π x 2
x
& 10 = x + 2y + π
2 2
2
π 2
π
A...