Oscilaciones de un edificio

Contenido del trabajo
Valores propios y vectores propios
* Marco teórico.
* Desarrollo del Algoritmo.
* Diagrama de bloques.
* Codificación en MATLAB
* Ejemplos y Graficas
* Verificaciones con funciones en MATLAB
* Conclusiones.

Valores propios y vectores propios
El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene granimportancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante.
Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices
Si se quiere calcular los valores propios de unamatriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.
Cálculo simbólico
Encontrando valores propios
Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valorpropio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales (λI-A) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

La función p(λ) = det(λI-A) es un polinomio de λ pues los determinante se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matrizson los ceros de su polinomio característico.
Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA(λ) = 0.
Si A es una matriz n×n, entonces pA tiene grado n y A tiene al menos n valores propios.
El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de gradoimpar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.
Encontrando vectores propios
Una vez hallados los valores propios, para hallar el vector propio X correspondiente al valor propio λ es necesario resolver el sistema homogéneoAX= λX
donde el vector X es  X={x0,x1, … , xn-1}. Siempre podemos tomar x0 como 1, y hallar las otras n-1 incógnitas. De las n ecuaciones podemos tomar n-1, y resolver el sistema lineal.

En álgebra lineal, los vectores propios, Autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de símismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores[] que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar queno varía su dirección.

Desarrollo del Algoritmo
Este programa está diseñado de tal manera que se tengan que ingresar:

n -- número de pisos
m -- vector que contiene las masas de cada piso
k -- vector que contiene los coeficientes de rigidez de cada piso

Una vez ingresado el número de pisos, el vector de masas y coeficientes de rigidez de cada piso, se procede a verificar que estos seande la misma dimensión y que en el caso de n el número ingresado sea un entero mayor a 0 y menor a 50

Se crea el bucle que forma la matriz condensada A de todo el sistema

[ (k1+k2)/m1 -k2/m2 0 0 ]
[ -k2/m2 (k2+k3)/m2 -k3/m2 0 ]
[ 0 -k3/m3 (k3+k4)/m3 -k4/m3 ]
[ 0...