oscilador

OSCIL·LADOR HARMÒNIC

FÍSICA 1

TEMA 3 .- OS CIL·LA DOR H ARMÒ NIC
3.1 Introducció
El tipus mes comú de moviment oscil·latori és el moviment harmònic simple. Aquest succeeix
quan considerem un bloc de massa M lliscant sobre una superfície sense fregament i unit a una
molla. Quan el desplacem una distancia x en la direcció positiva de l’eix x. La força elàstica de
recuperació de la mollaés, segons la llei de Hooke,

F = - k·x
amb k la constant recuperadora de la molla, el signe menys indica que es dirigeix sempre cap a
la posició d’equilibri, mentre que l’acceleració actua en la direcció positiva del desplaçament.

Mg
k

kx

M

a

x
N
Apliquem la segona llei de Newton:

G
G
d 2x
F = M ⋅ a = M ⋅ 2 = M ⋅ 
x
dt
−k ·x = M ·x

⇒ M ·x + k ·x = 0

(1)Observem que l’acceleració es proporcional al desplaçament , quan el cos es a la dreta de la
posició d’equilibri ( x positiva ), l’acceleració es cap a l’esquerra ( acceleració negativa ).
L’acceleració del cos es proporcional al desplaçament des de la posició d’equilibri i té sentit
oposat al d’aquest.

L’equació (1) la podem escriure’s de la següent manera:
De manera que l’equació (1)ens quedarà de la forma:

3-1

x +

k
x =0
M

x + ω 2 ·x = 0

(2)

OSCIL·LADOR HARMÒNIC

on hem definit : ω 2 =

FÍSICA 1

k
M

L’equació (2) ens descriu un moviment harmònic simple, per tant la solució serà de la forma :
x(t) = A cos ωt

(3)

amb A el desplaçament màxim a partir de l’equilibri i s’anomena amplitud. Determinem el valor
de ω que compleix (2),derivant dues vegades (3) i substituint a (2):

x = Aω sin ωt

x = −Aω 2 cos ωt

i

⇒

−MAω 2 cos ωt + kA cos ωt = 0

ω2 =

k
M

El terme k /M el podem interpretar físicament a partir de les seves dimensions
−2
⎡ k ⎤ = N m = 1 ·kg·m·s = s −2
⎢⎣ M ⎥⎦
kg
kg
m

Observem que té dimensions d’una freqüència al quadrat, per tant podem efectuar la següent
associació

k
=ω
MObtenim, doncs, que (3) es solució de (2). Per tant, la posició de l’oscil·lador en funció del
temps vindrà donada per l’equació:

x (t ) = A cos ωt = A cos

k
t
M

Gràficament:
2

1

2

4

6

8

-1

-2

3-2

10

12

OSCIL·LADOR HARMÒNIC

FÍSICA 1

Conclusió:
Sempre que l’acceleració d’un objecte és proporcional i oposada al seu desplaçament,
l’objecte segueix unmoviment harmònic simple

3.2 Equació general del moviment harmònic simple
Per t = 0 partim de la posició de màxima elongació : x(t) = A·cos ωt = A·cos0 = A
Si suposem que en t0 = 0 no partim de màxima elongació, el valor de l’elongació x(t0) serà
diferent d’A.
Gràficament:

en aquest cas hem de modificar l’equació (3) afegint un desfasament

(

x (t ) = A cos ωt + ϕ

)

;

t0 =0

en

⇒

φ.

x (0) = A cos ϕ

Si en t0 = 0 el desfasament és π/2 :

(

x (t ) = A cos ωt + π

2

) = A ( cos ωt ⋅ cos π 2 − sin π 2 ⋅ sin ωt ) = −A sin ωt

En aquest cas, per t0 = 0, x(0) = - A sin0 = 0 , això vol dir que partim de la posició d’equilibri.
A partir de la posició podem determinar la velocitat i l’acceleració del moviment harmònic en
funció del desplaçament x:(

x (t ) = A cos ωt + ϕ

Posició.-

)

Velocitat.2

⎛x ⎞
v(t ) = −Aω sin ωt + ϕ = −Aω 1 − cos 2 ωt + ϕ = −Aω 1 − ⎜ ⎟ = −ω A2 − x 2
⎝A⎠

(

Acceleració.-

)

(

)

a(t ) = −Aω 2 sin (ωt + ϕ ) = −Aω 2
3-3

x
= −ω 2 ·x
A

OSCIL·LADOR HARMÒNIC

FÍSICA 1

3.2.1 PERÍODE I FREQÜÈNCIA
Període ( T )
És el temps que tarda l’objecte de massa M a fer una oscil·laciócompleta.

T
22

11

t

22

44

66

88

10
10

t+T

-11

-22

Observem de la figura anterior que x (t ) = x ( t + T) donat que es tracta d’una funció periòdica
de període T. D’aquesta manera podem determinar T a partir de :

(

)

(

x (t ) = A cos ωt + ϕ = x (t + T ) = A cos ω(t + T ) + ϕ

(

)

(

cos ωt + ϕ = cos ω(t + T ) + ϕ
Així:

ωT = 2π

)...